Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
типичную для связанных колебательных систем [110] картину "расталкивания"
спектральных кривых, такую, как в зоне, выделенной на рис. 75 контуром L.
Взаимодействие краевой моды (кривая Е на рис. 84) с системой кривых,
соответствующих планарным колебаниям (#-модам), рассматривалось выше. При
изучении спектральных кривых для колебательных систем со многими
степенями свободы установлено, что расстояние между ними в зонах
расталкивания пропорционально степени связанности между парциальными
системами. Один из интересных результатов, полученных в § 3 данной главы,
заключается в том, что в случае взаимодействия планарных движений с
краевой модой прямая пропорциональная зависимость между величиной
коэффициента Пуассона, как возможной характеристикой величины связанности
двух указанных типов движений, и расстоянием между спектральными кривыми
не прослеживается. Более того, при определенном значении v Ф 0 снова
возникают кратные частоты (пересечение спектральных кривых),
соответствующие планарным и краевой модам.
220
Представляется очевидным, что все зоны вблизи точек двукратного выражения
спектра при v = 0 однообразно трансформируются в зоны расталкивания при v
= 0. Это обстоятельство служит основой для понимания структуры спектра
диска в случае v Ф 0 (см., например, рис. 82 и 83) в области частот ?2 <
?2,. Структуру спектра на частоте ?2* можно понять после рассмотрения
распада при v ф 0 узлов трехкратного вырождения собственных частот.
В точках трехкратного вырождения спектра процесс расталкивания
разнородных мод с увеличением v имеет более сложный характер. Этот
процесс происходит по-разному для первой точки трехкратного вырождения,
через которую проходит ветвь, соответствующая краевой моде, и остальных
точек [94].
Изменение структуры спектра вблизи указанной первой точки можно
проследить по данным рис. 89. Здесь штриховыми линиями с соответствующими
типами колебаний индексами R\°\ Т\°\ А\0) показана часть спектра в случае
v = 0. Сплошные линии характеризуют участок спектра собственных частот
диска для v = 0,02. Участки спектральных кривых с одинаковым типом
движения отмечены одинаковыми буквами R, Т, А. При обозначении учтено
"наследование" соответствующими формами колебаний основных свойств форм
для v = 0. Характерным для рассматриваемой ситуации является то, что
спектральная линия А1 в данном случае не испытывает деформации при
прохождении через частоту ?2* =
= "[/"2 \ - 2v ' ^т0 свиДетельствУет °б отсутствии связи между
соответствующим ей типом движения и движениями в R- и Г-модах.
На рис. 90 показан участок спектра, характеризующий изменение его
структуры с изменением v в остальных точках трехкратного вырождения.
Случай v = 0 показан штриховыми линиями, а сплошными линиями изображен
спектр при v = 0,02. Данные рис. 90 относятся к третьей точке вырождения,
в связи с чем все моды отмечены индексом 3. Здесь принят такой же способ
обозначения различных мод, как и на рис. 85.
221
При этом возможна следующая трактовка картины. В результате
взаимодействия планарных движений с тол-щинными происходит расталкивание
соответствующих кривых (на рис. 90 кривые 5 и 7), как и в случае
двукратного вырождения. Однако в отличие от последнего случая в
образовавшейся зоне между указанными кривыми проходит линия, в
определенной мере наследующая свойство соответствующей кривой третьего
семейства в случае v = 0 (кривая 6).
Если для первой точки (см. рис. 89) при переходе к случаю v Ф Ф 0
спектральная кривая Ах не обнаруживает заметного изменения при переходе
через частоту Q/, то в рассматриваемом типичном случае третьего узла
кривая А3 претерпевает существенную деформацию. Соответствующий этой
кривой тип движения уже обнаруживает связь с чисто толщинными и
радиальными движениями в диске. Причем важной частью деформированной
спектральной кривой А3 является практически горизонтальный участок ТА3 на
частоте Qt-
Степень расталкивания кривых в окрестности точек трехкратного вырождения
существенно зависит от величины коэффициента Пуассона. Количественно его
влияние можно оценить по рис. 91, где показано изменение структуры
спектра в окрестности частоты с ростом v Здесь четко прослеживается
тенденция к увеличению длины горизонтального участка кривой третьего
семейства
Для завершения исследования структуры спектра при v Ф 0 в окрестности
частоты Qt необходимо осуществить классификацию участков спектральных
кривых по однотипным формам колебаний. Именно исследование генезиса
наблюдаемых здесь форм колебаний с точки зрения их связи с чистыми типами
движений при v = 0 и завершает в определенной мере исследование
особенностей толщинного резонанса диска.
При анализе форм колебаний, соответствующих спектральным кривым разных
семейств в окрестности частоты (ЛЬ уже недостаточно следить только за
рельефом плоских поверхностей диска. Это связано со следующими данными,
относящимися к типичному участку спектра, показанному на рис. 90.
