Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
[194, 195], что границами полосы частот, в которой имеет место
"террасоподобный" спектр, являются й* и й^. Однако наличие в спектре
диска плато, связанного с краевой модой, свидетельствует о том, что это
утверждение не является очевидным.
На рис. 82 и 83 видна тенденция к увеличению количества плато в указанном
частотном диапазоне при увеличении R. Именно резонансы, соответствующие
этим дополнительным плато, образуют систему "паразитных" резонансов в
окрестности толщинного [121]. Один из возможных способов уменьшения
количества таких резонансов связан с уменьшением величины R, однако
минимальное
213
значение R, при котором четко выражены резонансы на частоте Qt,
возрастает с ростом v.
Практически важным свойством толщинного резонанса является независимость
собственной частоты от радиуса и простота ее определения по свойствам
материала и толщине. Если .ориентироваться только на первое свойство, то
из рис. 82 и 83 видно, что существует целый ряд частот (их количество
увеличивается с ростом R), которые обладают данным свойством. При этом
нет никаких оснований для того, чтобы отдать предпочтение частотам,
остающимся практически постоянными при изменении R, Рассмотрение
экспериментальных данных [195, 264] обнаруживает существенное различие в
эффективности возбуждения колебаний пьезокерамических дисков на основном
толщинном и дополнительных плато при подводе электрической энергии через
сплошные электроды. Однако знание форм колебаний часто позволяет так
подобрать конфигурацию разрезных электродов, чтобы значительно повысить
эффективный коэффициент электромеханической связи относительно слабых
(при сплошных электродах) мод [39]. Вопрос об оптимальной конфигурации
электродов тесно связан с анализом форм колебаний диска. Такой анализ
приводится далее, а здесь мы обратимся к выделению и исследованию тех
составляющих в движении частиц диска, взаимодействие между которыми
обусловливает сложную структуру его частотного спектра.
§ 5. ТОЛЩИННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИСКА
С НУЛЕВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПУАССОНА
Из сравнения данных, показанных на рис. 82 и 83, следует, что связь между
отдельными типами движений ослабевает с уменьшением v. В связи с этим
целесообразно рассмотреть предельный случай v = 0. При этом частично
устраняется связь между радиальными и осевыми движениями частиц, но
сохраняются все особенности в динамическом деформировании упругих тел,
связанные с наличием двух типов волн. Важно, что в данном случае
разделение составляющих общего движения можно провести аналитически при
подчинении решения (1.5) граничным условиям (1.1).
Решение граничной задачи (1.1) можно составить из трех независимо
определяемых частей:
4_ и У ch Pi2 __ " chPs* ) h (V) . /г П
+ h 2j y> [Pi shpih Рг sh^ ) -ЩЩ- • (51>
"<2>;
i0,
2(-1 )nx"
П-]
U
Уо
Qj
sin QjZ;
j 1 (w) 11 toi)
COS rj"z -f
214
,/?)._ V/ 1ч" хп Г МлО /о(?20 bjn"- I
Ыг ч" .^/,Ы ^^Г(^]5ШТ1"г +
2
У1
sh р2г Pi sh рхг | /0 (\jr)
/=i \ sh ^ Л(r) sh р]А у /0(Л/)
Независимость этих решений понимается в том смысле, что при произвольном
значении частоты вынужденных усилий постоянные Xq, г/0, хп, г//, (/г,
/=1,2,...) определяются из несвязанных между собой соотношений. Эти
соотношения вытекают из общей системы
(2.5) при -v = 0:
*о [/. (Qi) - ~Xq^-] = Л>. Уо cos Qt/i = g0,
00
xnPn(q) + 2" J - У!.- - =fn (n = 1, 2, ...), (5.2)
i=i
(Л(r) + с//) (Л(r) + </|)
0A(/"+2Q?A/S (T12+p2^2+p2) ft (/ 1.2,...).
Разделение радиального и осевого движений в диске представляется
естественным при v = 0, о чем свидетельствуют первые два решения
уравнений движения в (5.1). Однако в общем случае произвольного по форме
силового возбуждения проявляется связь между двумя указанными типами
движений за счет способности упругого тела сопротивляться сдвигу.
Формальным отражением этого свойства является связанность соотношений для
определения постоянных хп и у, в (5.2).
В соответствии со структурой соотношений (5.2) на три независимые части
распадается и спектр собственных частот диска. Равенство нулю
коэффициента при у0 в (5.2) определяет условие для определения частот
основного толщинного резонанса и его обертонов:
?#> = (21- 1)1/2, /=1,2,... (5.3)
Соответствующие типы движений будем далее называть Т-модами. На рис. 84
эта часть спектра представлена только основной частотой Q; = )/2.
Из условия несуществования конечного решения для х0 находим собственные
частоты радиальных (планарных) колебаний диска
ОН) = -2р"^2- , т=1, 2, ... (5.4)
где Рт - т-й корень уравнения
|Уо (Р) = Л (Р). (5-5)
Соответствующие типы движений принято называть Р-модами. Этой части
спектра на рис. 84 соответствует система гипербол.
215
Гиперболы пересекаются с системой горизонтальных прямых, соответствующих
толщинному резонансу, в точках с координатами
R (I, т) = -^Ь{]п-' й(,)=(2/-1)/!. (5.6)
Третье семейство спектральных кривых получаем, анализируя поведение
неизвестных в неоднородной бесконечной системе (5.2) при различных
