Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
очень близкие друг к другу частоты, соответствующие краевому резонансу.
Если значение h соответствует краям плато (на рис. 81 h да 9,2), то в
спектре собственных частот будут наблюдаться "триплеты".
Что касается форм колебаний, то в случае "дублетов" обе формы имеют
характерные для краевого резонанса особенности. В случае
14 1841
209
же "триплетов" лишь одна из форм колебаний, а именно соответствующая
центру плато, является характерной для краевого резонанса. Две другие не
обладают выраженной локализацией области интенсивных движений вблизи
угловых точек цилиндра.
В такую схему почти полностью качественно вписываются экспериментальные
данные работы [166, табл. 2-4] в диапазоне частот, существенно не
превышающих частоту Q(?\ Исключение составляет найденный в эксперименте
"дублет" при Q2 = 2,556, который нельзя предсказать в рамках модели
идеально упругого тела строго круговой цилиндрической формы.
Для полноты иллюстрации возможностей как экспериментальной техники, так и
предложенного теоретического способа определения собственных частот
проведем количественное сравнение расчетных данных с данными табл. 2
работы [166]. Для стального стержня (v = 0,29) с параметрами 2Н = 8,885
см, 2а - 0,953 см, h = = 9,323 существует "триплет" со следующими
значениями частоты: Й(213) = 2,880 (2,881), ?#4) = 2,921 (2,920), Q(2,5)
= 2,935 (2,931). Здесь в скобках приведены экспериментальные данные.
Отметим, что авторы работы [166] для объяснения полученных результатов
использовали аппроксимацию волнового поля в конечном цилиндре первой
распространяющейся модой бесконечного цилиндра. Такой подход позволяет
довольно точно определить собственные частоты не только ниже, но и
несколько выше (вплоть до появления второй распространяющейся моды в
бесконечном цилиндре) частоты краевого резонанса, однако наличие плато в
спектре предсказать нельзя.
Отметим, что проведенное в области частот до появления второй
распространяющейся моды сопоставление расчетных и экспериментальных
данных для других рассмотренных в работе [166] случаев обнаруживает столь
же хорошее совпадение результатов. Вместе с тем сопоставление в области
частот, где имеется уже несколько распространяющихся мод, требует прежде
всего выполнения большой работы по отработке методики получения расчетных
данных и их систематизации с учетом сложностей, связанных со сгущением
спектра частот в окрестности частоты радиального или продольно-сдвигового
резонанса бесконечного цилиндра, определяемых низшим из первых корней
уравнений (9.9) и (9.11) главы 4.
' Естественно, что аналогичные особенности в спектре будут проявляться и
вблизи частоты чисто толщинного резонанса в тонком диске. Перейдем к
исследованию структуры спектра и особенностей форм колебаний в этой
области частот.
§ 4. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ТОЛЩИННЫХ КОЛЕБАНИЙ ДИСКА
Изученное в предыдущем параграфе явление краевого резонанса как
возбуждение особой, свойственной только упругому телу формы колебаний
наблюдается в той области частот, где су-
210
ществует только одна распространяющаяся мода. Следующий этап в
исследовании особенностей динамики поведения конечных упругих тел в
высокочастотной области естественно связан с переходом в тот диапазон
частот, где имеется уже не менее двух распространяющихся мод бесконечного
слоя или цилиндра.
В этом параграфе речь идет об исследовании особенностей деформирования
тонкого диска в области частот ^ Q ^ где
частота Q* = |/~2 ^ 0ПРеДеляется как первая частота последовательности
толщинных резонансов, указанных в § 6 главы 4. Величина зависит от v, и
при v > -i- она становится больше час-
О
тоты толщинно-сдвигового резонанса Qs = 2. Перемена местами частот Q, и
Qs приводит, по мнению авторов работ [194, 195], к существенному
изменению в структуре спектра собственных частот диска. Этот интересный
вопрос требует дополнительных исследований. Здесь мы ограничимся
рассмотрением случая v < .
Характерным признаком кинематики толщинной моды в бесконечном слое
является наличие лишь нормальных к срединной поверхности составляющих иг
вектора перемещений частиц среды. Такая кинематика частиц представлялась
[264] очень важной для работы механических резонаторов.
Механические резонаторы в виде тонких круглых дисков часто используются
при возбуждении осесимметричных колебаний в окрестности основной частоты
толщинного резонанса. Уже первые опыты применения таких резонаторов
показали необоснованность надежд на то, что в случае малой относительной
толщины главная толщинная форма колебаний будет иметь близкое к
поршневому движение плоских поверхностей диска [75, 264]. Кроме
усложнения форм колебаний, значительные трудности встретились при
объяснении структуры спектра собственных частот. Как отмечается в работе
[121, с. 164],"... хотя при конструировании пьезоэлектрических
резонаторов возникает много сложностей, ни одна из них не оказывается
столь трудно преодолимой, как определение многочисленных мод колебаний в
