Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 90

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 114 >> Следующая

асимптотическое представление
Од
1-а
(7.8)
Для оценки поведения коэффициентов yt во вторых рядах (7.7) для больших
Kj необходимо использовать сумму ряда [33]
1 7,-а (М Jo (к/г)
(1-/
Учитывая, что для больших А,, асимптотическое значение выражений в
квадратных скобках (7.7) в первом и втором рядах для а" (г, А)
q2 q2
в (7.7) равны единице и ¦ 2 -- соответственно, получаем, что особенности
вида (7.6) соответствует
У1 = -фг- (7.10)
При этом ряд по (К/Г) в о" (г, А) не содержит особенности в точке г = 1.
Асимптотические равенства (7.8) и (7.10), по существу, являются лишь
предположением о свойствах неизвестных в бесконечной системе (7.4). Это
замечание подчеркивает, однако, лишь одну сторону в проведенных
рассуждениях. Если еще раз вернуться к факту существования особенности
определенного типа в напряженном состоянии цилиндра, то соотношения (7.8)
и (7.10) можно истолковать и по-иному. Эти соотношения нужно
рассматривать как указание на то, с какими свойствами следует искать
решение, если окажется, что система (7.4) допускает не единственное
решение. В связи о этими замечаниями дальнейшая работа по исследованию
системы (7.4) состоит в проверке возможности существования решения с
асимптотическими свойствами (7.8) и (7.10) и, если такое решение
существует, в указании алгоритма, позволяющего его найти.
Для проверки возможности существования у системы (7.4) решения со
свойствами (7.8) и (7.10) рассмотрим вначале второе уравнение в (7.4) при
больших значениях п. При этом считаем частоту колебаний произвольной, но
фиксированной. Это позволяет всегда выбрать такой номер N, начиная в
которого можно полагать q?" "г1л, / = 1,2, и > N. Для получения
асимптотического выражения для Тп (q), однако, вследствие его структуры
необходимо считать Q ?
qtsa т]"----к-, /==1,2, и рассматривать члены разложения бо-
лее высокого порядка. В итоге получаем
И, - fi?
T"(<7)^(3-4v) -2т-1-. (7.11)
Для оценки порядка убывания по п бесконечной суммы по / во втором
уравнении (7 4) с учетом (7.10) выполняем преобразование
230
Используя известное соотношение [113]
?
и значение интегралов [33]
оо "
\im Yi~rf (4-) =)f(x)dx (7.13)
1-00 7-=j Ь \ t / fj
f xO-'dx Я
J 1 + ** о .
n . na 9 2 sin -
eo
I
dx я (2 - a)
(1 + *2)2 . . ла
4 sin --
(7.14)
2
вместо второго уравнения в (7.4) получаем асимптотическое равенство
-Йг О ¦-4v) + -4ьг -¦ъг- - °- (?-15>
Чп Чп Sin -^-
Аналогичные выкладки применительно к третьему уравнению в (7.4) приводят
к асимптотическому равенству
(7.16)
j2-a i2-a . ла
А/ А/ sin--------
Q| - Q?
Здесь учтено, что для больших /
Ду(р)"А-^-. (7.17)
При получении этих соотношений видим, какую важную роль играют свободные
члены, определяемые внешней нагрузкой, и член с х0, определяемый способом
выбора полной системы частных решений в (1.8) для того, чтобы
асимптотическая система (7.15) и (7.16) оказалась однородной.
Решение системы (7.4) с асимптотическими свойствами (7.8) и (7.10)
существует, если определитель однородной системы (7.15) и (7.16)
обращается в нуль. Соответствующее равенство приводит к уравнению (4.5)
главы 1. Именно это позволяет заключить, что система (7.4) обладает
решением с асимптотическими свойствами
(7.8) и (7.10).
Способ построения алгоритма решения системы (7.4), в котором учитывались
бы соотношения (7.8) и (7.10) и доставлялось решение с нужными
свойствами, в значительной мере близок к использованному при рассмотрении
первой основной граничной задачи. Знание асимптотических свойств
неизвестных позволяет при замене бесконечной системы (7.4) конечной с N -
f М -f 1 неизвестными
231
принять
*"--ёг <">*>. У1 = -тйг (/>М). (7.18)
Чп *•/
По " ^Л'ЛЛ/ 9 = у Л! Я AJ •
Полученная таким образом конечная система отличается от той, которая
порождается простой редукцией, лишь коэффициентами при последних
оставленных неизвестных. В отличие от случая первой основной граничной
задачи входящие в эти коэффициенты бесконечные ряды не удается вычислить
в замкнутом виде, что несколько усложняет практические вычисления. Говоря
о практической реализации алгоритма, следует также указать на одну важную
возможность для промежуточного контроля вычислений. Решая конечную
систему, полученную в соответствии с (7.18), находим приближенные
значения а0 и Ь0. После их подстановки в (7.16) по степени близости двух
слагаемых можно судить о степени точностй найденного решения бесконечной
системы.
Заканчивая описание алгоритма решения систем, возникающих при
рассмотрении смешанных граничных задач, отметим важность усилий,
направленных на правильный учет локальных особенностей исследуемых полей,
так как на их основании удается развить подходы, позволяющие выделить из
совокупности возможных решений бесконечных систем то, которое
соответствует физически осмысленному решению с конечной энергией Очень
наглядные примеры, иллюстрирующие необходимость учета условий на ребре,
приведены в книге [97]. В связи с этим можно также указать на работу
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed