Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 89

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 114 >> Следующая

слагаемое необходимо для
ид
полноты системы функций cos г)"г, г)" = , п = 1,2, ... на интер-
вале - h ^ г ^ h. При выборе в качестве к} корней уравнения Л (Я) = 0
системы функций /0 (к/г) и (Я;г) являются полными в круге 0 ^ г ^ 1 [34].
Поэтому никаких дополнительных слагаемых здесь больше не требуется.
Решение для антисимметричного случая имеет более сложную
структуру. Если в (1.8) положить тр, = то по аналогии с высказанным выше
становится понятной роль слагаемого с величиной А0 В качестве Я, в этом
решении выбраны ненулевые корни уравнения /г (X) = 0. В связи с этим для
полноты системы функций У0(Я/), необходимой при выполнении граничного
условия по аг, в решение включено слагаемое с С0. Появление этого
слагаемого в иг и аг сопряжено с наличием слагаемого с величиной С0 в
выражении для иг. Собственно, слагаемыми с величинами А0 и С0 в (1.8) с
точки зрения полноты общего решения граничной задачи (1.4) даже при
неоднородных условиях можно было бы ограничиться. Однако при построении
алгебраических систем для определения произвольных постоянных в (1.8)
необходимо функцию sin Q2z разлагать по
sin г]nz. В таком разложении коэффициенты убывают как -5-, что
Ля
приводит к медленному убыванию соответствующих слагаемых в бесконечных
системах и не позволяет просто установить асимптотическое поведение
искомых величин. В связи с этим в общее представление смещений (1.8)
введено слагаемое с величиной В0 Смысл такой операции в том, чтобы
увеличить гладкость стоящих вне знаков сумм слагаемых в иг и тем самым
повысить скорость убывания соответствующих коэффициентов ряда Фурье
Учитывая, что все слагаемые в бесконечных рядах (1.8) обращаются в нуль
для г - 1, z = h, из указанных требований вытекает следующая связь между
В0 и С0:
V1(Qi)+C0-^sinQ2/t = 0. (7.1)
Характер выкладок, связанных с удовлетворением граничных условий с
помощью выражений (1.8), идентичен в обоих случаях симметрии. Поэтому
ниже описывается решение задачи только для симметричного случая.
Антисимметричный (изгибный) случай достаточно подробно рассмотрен в
работе [69].
Из граничных условий для касательных напряжений и осевых смещений в (1.3)
получаем следующие связи между значениями
15*
227
коэффициентов в (1.8):
А =* - Я
" п г\1 'о Ш '
2 (7'2)
о Г) */ + Рг sh p2h
1 1 2 Я? shp^
Два оставшихся условия в (1.3) порождают систему функциональных
уравнений. Используя разложения (2.9) главы 5, формулу
I.M- 2/.<,) (7.3)
где У" (Я,/) = 0, и соотношения (7.2), приводим эти функциональные
уравнения к бесконечной системе алгебраических уравнений
(Qx) V У/_________________n
Л° Q, I-2v i-J d2 ~ и"
1 /el
*"П(Л + 2(^-ОЬ v j = 0, n = 1, 2,..
Ц+qi \Ц+я% )
(7.4)
00 / 2 \ иЛ (p) _ 2 (Q% - Q?) V -^2- (-Hi!-v | + - 2vJ° =s
"* T)- ' / 1" 2, ...
Здесь приняты обозначения
^=(-1)"вЛ/"М. У/ = О/4*г-<я/)'
Чп А/
* - ЛА. г.W --jj-Ш-Ш'¦ ' (tm)
A ,(p)=h
(к2 + p\f
Рч cth pji !-2 cth Pjh
'tk/Pr
При исследовании свойств неизвестных в бесконечных системах, порождаемых
первой основной граничной задачей, мы исходили из общей теории
бесконечных систем Кояловича [70]. Для систем типа (7.4) развить
аналогичную теорию затруднительно, и при получении данных об
асимптотических свойствах неизвестных следует исходить из физических
особенностей рассматриваемой задачи. Как указывалось в главе 1, при
оценке локальных особенностей в напряженном состоянии для смешанных задач
можно исходить из результатов для статических задач. В нашем случае можно
считать
228
известным характер особенности вблизи точки г = 1,2 = Л для компонент
тензора напряжений. Он описан в § 4 главы 1. В данном случае в
окрестности угловой точки можно записать
о,{ 1, z)ssA(h - z2)~a, в, (г, h) В (\ - г2)'
,2\-"
(7.6)
где 0 < а < 0,5 - корень уравнения (4.5) главы 1.
Следующий шаг по пути к установлению асимптотических свойств неизвестных
в системе (7.4) связан с предположением о том, что особенностью вида
(7.6) обладают порознь составляющие общего решения, представленные в
(1.8) рядами по / и п.
С учетом введенных обозначений эти составляющие для напряжения о,
приобретают вид
-gg-oJd, 2)= 2 (-1У
2 G
п-\
al1 (г, h) = h
44
+ <h
A fa)
A (4a)
Iо (Qi)
Q2 А (Я 2)
cos T\nz,
/=1
iVi
(kj -j- pf)
%)
vQf
1 - 2v
- ktp2 cth p2h
Jg (k/r)
А (Я,/)
ЩРх /=1
cth pyh -
p2 cth p2h -
tf + pl
2pi
cth pji
A (kjr)
J1 (k/)
(7.7)
To обстоятельство, что вторая составляющая выбрана при z = h, а не при г=
1, связано с неравномерной сходимостью соответствующих рядов по функциям
/0 (Я/r). При выборе в качестве Л, корней уравнения J0 (к) = 0
соответствующие слагаемые в выражении для с" (1, г) исчезают и установить
асимптотический характер поведения коэффициентов таким образом не
удается.
Первое из приведенных в (7.7) выражений является рядом Фурье функции,
обладающей особенностью вида (7.6). Учитывая, что для больших п выражение
в квадратных скобках в (7.7) стре-Qr
мится к
2-, находим [13], что с ростом номера коэффициенты хп имеют
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed