Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
видны при анализе спектра собственных частот цилиндра для разных v.
Второй способ практического использования краевого резонанса авторы
работы [2261 видят в возможности быстрого образования усталостных трещин
в зоне торцов цилиндра.
Структура спектра собственных частот диска в области & <
204
<Q*{Q = ^t' R=-Tr) для
v =0,31 представлена на рис.75
(кривые 1-6). Очевидна пол- 0,5 ная аналогия со спектром для
прямоугольника (см. рис. 63).
Практически горизонтальные 0 плато соответствуют краевому резонансу.
Приведенные вычисления [43] в диапазоне 3 ^ ,05
<:/? ^ 10 показывают, что цент- Рис 76>
ры этих плато лежат в интервале 1,47 < Q < 1,48. По экспериментальным
данным [264], для частоты краевого резонанса имеем значение Q" = 1,47.
Попытка уточнить в расчете значение Qe привела к тому, что была
обнаружена зависимость этой величины от относительного радиуса диска. При
этом получены следующие границы для частоты краевого резонанса в центрах
плато:
R = 4,25, 1,471 < Qe< 1,472; Я = 6,30, 1,472 < Q,< 1,473;
R = 8,30, 1,474 <Qe< 1,475; R = 10,45, 1,476 < Q, < 1,477;
/?= 12,60, 1,478 <Qe< 1,479; /? = 21,00, 1,480 < Qe < 1,481.
Здесь видна явная тенденция к увеличению частоты краевого резонанса с
ростом R. В связи с этим следует указать, что частота краевого резонанса
для бесконечной прямоугольной призмы, находящейся в условиях плоской
деформации и с отношением сторон, равным R, заключена в интервале 1,483 <
Qs < 1,484. Отметим, что тенденция к повышению частоты краевого резонанса
при увеличении относительного радиуса диска наблюдалась экспериментально
[195] на дисках из существенно анизотропного материала.
Перейдем к анализу форм колебаний в окрестности частоты краевого
резонанса. На рис. 76 показано распределение по торцу z - h осевого
смещения иг в диске с величиной R - 6,25 при Q = = 1,47. Имеем типичную
картину, характерную для краевой моды.
Особый интерес в спектре собственных частот диска представляют зоны, одна
из которых выделена на рис. 75 кривой L. Вследствие связи между разными
типами волновых движений в диске здесь наблюдается повышенная
чувствительность мод колебаний к изменению геометрии. Поскольку эти зоны
лежат в области частот Q < Q*, то в данном случае речь идет о связи между
первой распространяющейся модой в слое и системой нераспространяющихся
мод.
При перемещении от центра плато к его краям характер движения в
соответствующих формах колебаний меняется. Области относительно
интенсивных движений уже не локализуются вблизи края диска. Так, для
диска с R = 5 (край плато) третья и четвертая
205
Рис. 79.
Рис. 80.
собственные частоты заключены в интервалах 1,465 < Й(3) < 1,467; 1,483 <
Й(4) < 1,485. На рис. 77 показано распределение осевого смещения иг по
торцу z = h на частотах Й = 1,465 (кривая 3) и Й = 1,483 (кривая 4).
Видно, что ни одна из этих двух форм колебаний не обладает специфическими
особенностями краевой моды. На рис. 78 представлены аналогичные кривые в
случае R = = 4,76 для частот Q = 1,475 (кривая 3) и Q = 1,509 (кривая 4).
Третья и четвертая собственные частоты такого диска заключены в
интервалах 1,473 < й(3) < 1,475; 1,509 < Й<4) < 1,511. Из этих данных
следует, что диск обладает ярко выраженной краевой формой колебаний лишь
в тех случаях, когда собственная частота лежит вдали от краев плато.
Обычно при рассмотрении спектров собственных частот каждую спектральную
кривую связывают с определенной формой колеба-
206
ний. Такой подход является естественным в области частот Q < Qe, однако
на область частот Й > Йе его распространять не следует. Дело в том, что
при движении вдоль определенной спектральной кривой после прохождения
частоты краевого резонанса мы, по сути, следим за изменением собственной
частоты разных мод. Подтверждением этого является, в частности, потеря
узла в собственной форме после частоты Й = йе при движении вдоль одной
кривой. Такая ситуация отражена на рис. 79, где представлено
распределение иг в модах колебаний для точек спектра С и D (см. рис. 75).
Отметим, что формы колебаний в точках А и С практически совпадают. Именно
это свойство указывает на то, что, говоря, например, о четвертой
собственной форме планарных колебаний диска в области частот Й > Йе,
следует иметь в виду спектральную кривую, состоящую из двух не
соединяющихся участков, отмеченных на рис. 75 точками С и А.
Как и в случае прямоугольника, в диске существуют специфические формы
колебаний, связанные с распространением сдвиговых SV-волн. Эти моды
колебаний называют модами Лэмба [208], хотя о них говорилось еще в работе
Кри [168].
Выражения для смещений
иг = -В Jl фг) cos pz, иг = BJQ фг) sin Pz (3.1
являются решениями уравнений Ламе и удовлетворяют нулевым граничным
условиям на всей поверхности диска, если справедливо равенство
К(Р) = Л(Р). Ql =(2/-1)К2, R = n(2f_1}-, /-1.2. ...
(3.2)
Следовательно, частоты йг. = (21- 1) |/2 являются собственными для дисков
с определенными значениями R (I, т), где т - номер корня трансцендентного
