Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
исследование особенностей его деформирования является более важной
практической задачей.
Что касается существа методики построения общего решения задачи о
вынужденных колебаниях цилиндра конечной длины, то здесь нет новых
принципиальных отличий по сравнению со случаем прямоугольника. Некоторые
дополнительные трудности возникают при построении решения для общего
трехмерного случая деформирования. Для него в § 8 данной главы приведено
полное построение общего решения.
Исследование общих решений, получаемых в рамках суперпозиции частных
решений предложенного вида, в случае смешанных условий на границе
цилиндра связано с существенным развитием методики определения
коэффициентов бесконечных рядов. Сущность предлагаемого подхода, а также
особенности деформирования цилиндров при смешанных граничных условиях
рассматриваются далее в § 7.
Практичность такого объекта как цилиндр конечной длины и его широкое
использование в качестве возбудителей и приемников колебаний,
резонаторов, элементов механических фильтров и линий задержки [101, 242,
263] обусловливают значительно больший интерес к нему по сравнению с
прямоугольником.
Как уже отмечалось при анализе волновых движений в цилиндри-чееком
волноводе, наборы частных решений уравнений движения в цилиндрических
координатах впервые были приведены в работах Похгаммера [252] и Кри
[168]. В работе [168] такие решения использовались для изучения колебаний
конечных цилиндров со специальными смешанными условиями на торцах стг =
иг = 0. При этом оказалось возможным выполнить граничные условия путем
наложения на падающую волну отраженной волны такого же типа.
194
Задача оказалась очень простой как с физической, так и с математической
точки зрения. В общем случае, когда изучение колебаний сводится к решению
основных граничных задач, возникают значительные математические
трудности. Последующее изложение показывает, что им сопутствует также
существенное усложнение физической картины деформирования цилиндра.
Наличие эффективного решения граничных задач о вынужденных колебаниях
цилиндра конечной длины при различных граничных условиях позволяет, в
частности, глубоко изучить такое интересное явление, как толщинный
резонанс в тонком диске. Этому посвящена значительная часть данной главы
(§ 4-6).
Большой интерес представляет оценка роли граничных условий в формировании
спектра и форм колебаний диска С такой точки зрения ведется рассмотрение
смешанной задачи.
Во всех этих задачах наибольший интерес представляет высокочастотная
область, когда проявляются существенные особенности деформирования
упругих тел конечных размеров. Именно этой области частот уделено
основное внимание при проведении конкретных расчетов. Изложение в данной
главе ведется на основе работ [42, 43, 46].
§ 1. ПОСТАНОВКА ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ И ПОСТРОЕНИЕ
ОБЩИХ РЕШЕНИЙ В ОСЕСИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ
Целью настоящей главы является изучение свойств колебательной системы в
виде идеально упругого цилиндра конечной длины. Под этим подразумевается
отыскание спектра собственных частот и соответствующих форм колебаний.
Такая физическая задача имеет строгую математическую формулировку. В
связи с этим в процессе ее рассмотрения выделяются два важных этапа -
разработка методов решения соответствующих граничных задач и
систематизация и обобщение данных конкретных расчетов Эти два момента в
той или иной мере рассматриваются во всех публикациях, посвященных
исследованию колебаний цилиндра.
Для низкочастотной области, где соответствующая длина волны существенно
больше толщины (тонкая пластина) или радиуса (длинный цилиндр), полное
исследование колебаний можно выполнить с использованием прикладных теорий
пластин и стержней. В области высоких частот, которая является нашим
основным объектом исследования, необходимо учитывать пространственный
характер движения частиц цилиндра
Сложность общей пространственной постановки задачи о высокочастотных
колебаниях цилиндров и пластин стимулировала большое число работ по
развитию приближенных теорий, дающих результаты в более широком частотном
диапазоне, чем классические теории пластин и стержней. Первая попытка
построения такой теории принадлежит Рэлею, предложившему учесть инерцию
поперечных движений [123, т. 13. В случае изгибных колебаний балок
13*
195
учет инерции поворота и сдвига предложен Тимошенко [126] и развит на
случай пластин в работе Уфлянда [138].
В определенной мере новый этап в построении приближенной теории пластин
связан с появлением работ Миндлина [235, 238]. Основная идея Миндлина
заключалась в том, чтобы при выводе уточненных уравнений движения
пластин, предназначенных для применения в высокочастотной области,
добиваться наилучшей аппроксимации низших дисперсионных ветвей точной
трехмерной теории соотношениями приближенных теорий. Такой подход дал
возможность получить широко использующиеся прикладные теории планарных и
изгибных колебаний пластин, а также продольных колебаний длинных
