Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь обозначено
*o - ЛО", *n - ( 1) ^Mi(fo)"
P i"\-" 7ofa) (Лп + gj)2 /o(gl) flg
ГпЩ)-ЧЧ1 ы 4т)2?1 9, (?1) 2^2.
Д/ (p) *=* A
(Я,, + pi)2
p2 cth p%h--------1-2-- cth p
2
fa
J О (fyr)
iaJ,
f (*) " E (- i)"/" cos T1"Z, ? (r) = g0 + ? g/ ,° ;гт- • (2.6)
n=0 j=l "ol ЛР
Системы уравнений (2.3) и (2.5) по форме аналогичны системам (2.10) и
(2.17) главы 5 для прямоугольника. Более важно то, что из исследования
поведения неизвестных в них следует [38, 49], что и в случае цилиндра
асимптотические свойства искомых величин описываются равенствами
lim хп = - lim у) = а0, а0 = const. (2.7)
П-+ oo /-too
Равенство (2.7) справедливо для обоих типов симметрии деформированного
состояния.
Алгоритм использования этого равенства при решении бесконечных систем
подробно изложен в § 3 главы 5. Для вычисления напряжений на граничных
поверхностях цилиндра здесь также необходимо использовать известные
приемы улучшения сходимости рядов. При этом используются значения
следующих сумм [33]:
ос _ ' л(h г)
v g-ty*-*) _ _?________
"е-Х/(П-г, ! ., я(Д_г) , 2 . -йгьа. 4
2 -_e_tacth-4-L + _arctge 4 --е * ,
202
-fiat-Ah tg-^l +-?-), ъ-щрл.,
(2.8)
t<-4^--fta(*"Tr). Ч.--Т-
Исходя из равенства
oo _ f
lim S (ft- z) e-V*"*" = 4-, , (2.9)
г-*Н 1= I "
можно заключить, что метод простой редукции в случае цилиндра также
приводит к неустранимой путем повышения порядка конечной системы
погрешности при вычислении нормальных напряжений а, и аг в угловых
точках. Интересно, что ряд типа (2.9) не входит в выражение для окружных
напряжений сге и, следовательно, сделанное замечание о сходимости к этому
незадаваемому в граничных условиях компоненту тензора напряжений не
относится. Что касается порядка конечной системы, формируемой с
использованием
(2.7) для бесконечных систем (2.3) и (2.5) и соотношения между
количеством неизвестных хп и yt, то здесь справедливы рекомендации,
данные для прямоугольника.
При вычислениях в области высоких частот для четкого выделения форм
колебаний, соответствующих близко расположенным собственным частотам,
необходимо использовать различные виды функций f (z) и g (г). Общее
правило - приложенная нагрузка должна хорошо согласовываться с
возбуждаемой формой колебаний - в каждом конкретном случае довольно легко
реализуется, а следование этому правилу необходимо для четкого выделения
форм колебаний.
§ 3. КРАЕВОЙ РЕЗОНАНС В КОНЕЧНОМ ЦИЛИНДРЕ
Как специфическое, свойственное только упругим телам явление краевого
резонанса описано в § 5 главы 5 применительно к прямоугольнику. Поскольку
тонкая круглая пластина и длинный цилиндр часто используются в качестве
элементов колебательных систем, то применительно к ним явление краевого
резонанса должно быть исследовано по крайней мере в количественном
аспекте. Кроме того, следует иметь в виду, что при рассмотрении краевого
резонанса в цилиндре можно проследить за влиянием кривизны поверхности.
Определенное внимание в этом параграфе уделяется также
203
изучению влияния коэффициента Пуассона на структуру спектра в области
частоты краевого резонанса.
Как уже отмечалось, первое экспериментальное наблюдение краевого
резонанса в тонких пьезокерамических дисках описано в работе [264]. В
1957 г. аналогичная по свойствам мода была описана в работе [241] в связи
с экспериментальным исследованием поведения длинных стальных цилиндров.
Автор этой работы наблюдал резонансные колебания на формах,
характеризующихся относительно большими значениями радиальных перемещений
вблизи угловых окружностей. Собственные частоты таких форм практически не
зависели от длины цилиндра.
В последующем появилось значительное число экспериментальных и
теоретических работ, посвященных изучению краевого резонанса в сплошном и
полом цилиндрах конечной длины. Кроме отмеченных в § 5 главы 5 работ,
относящихся к исследованию краевого резонанса в тонких дисках, укажем еще
работу [273]. В ней на основе асимптотического анализа частотного
уравнения, полученного с использованием теории Миндлина, приводится
трансцендентное уравнение для определения зависимости частоты краевого
резонанса Q,, от радиуса диска. Характерно, что из полученных результатов
следует возможность существования краевой моды лишь при определенных
фиксированных значениях радиуса. Такой же подход использован автором и
при изучении краевой моды в полом цилиндре [274, 275]. Далее будет
показана связь краевой моды с нераспространяющимися волнами в слое и
возможность ее существования при произвольном значении R = .
Теоретическому
и экспериментальному анализу краевого резонанса в длинном сп тошном
цилиндре посвящены работы [192, 218, 221, 259], в которых рассмотрен
широкий диапазон изменения геометрических параметров цилиндра.
В работе [226] указывается на возможность использования явления краевого
резонанса для точного определения коэффициента Пуассона материала при
известной скорости сдвиговых волн. Недостатки предлагаемой методики будут
