Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
цилиндров [237]. На их основе проведен анализ некоторых особенностей
динамического поведения пластин и стержней в высокочастотной области.
Подробный обзор полученных при этом результатов содержится в работах
[224, 236, 248].
Сложилось самостоятельное научное направление, связанное с разработкой
корректных в том или ином смысле прикладных теорий пластин и оболочек, со
своей проблематикой и большим количеством интересных результатов. Обзор
соответствующих исследований содержится в работе [35]. Анализ
соответствующих результатов в механике деформируемого твердого тела
выходит за рамки настоящей книги.
Кроме исследований поведения круглых пластин и цилиндрических стержней на
основе уточненных теорий значительное внимание уделялось разработке
подходов к решению пространственных задач. В работах [154, 155] строятся
приближенные решения задачи на основе метода однородных решений.
Удовлетворение граничным условиям на цилиндрической поверхности
проводится способом коллокации в нескольких отдельных точках. Такой же
подход к использованию однородных решений применен в работах [203, 204].
Другие работы, связанные с развитием метода однородных решений, упомянуты
в предыдущей главе при описании сути этого метода. Дополнительно здесь
отметим лишь работу [146].
Естественно, что при решении соответствующих граничных задач широко
использовались также вариационные подходы [76, 191], методы конечных
разностей [222] и конечных элементов [196].
Несмотря на то что колебания конечных цилиндров изучались во многих
теоретических работах, сравнительно мало сделано для получения ясного
представления о том, что происходит в случаях, отличных от наиболее
простых, т. е. в высокочастотной области. Основное внимание
исследователей было направлено на преодоление методических трудностей,
возникающих при рассмотрении столь сложных граничных задач, и на
выяснение возможностей различных подходов. Особенности спектра и форм
колебаний систематически не изучались. О наличии специфических
особенностей динамического деформирования круглых цилиндров и пластин
достаточно наглядно свидетельствуют многочисленные экспериментальные
данные. Из экспериментальных работ, посвященных особенностям
196
толщинного и радиального резонансов в дисках и цилиндрах, отметим первые
- [32, 264]. Обширные экспериментальные данные о спектре собственных
частот и некоторых кинематических характеристиках форм колебаний тонких
дисков содержатся в работах [260, 261].
Перечисленные эксперименты выполнены с использованием пьезокерамических
дисков. Возможность легко возбуждать колебания в таких дисках позволила
авторам работ [133, 194, 195] экспериментально получить спектр
собственных частот дисков в довольно широком диапазоне изменения
геометрических характеристик. Тщательные экспериментальные исследования
спектра собственных частот длинных металлических цилиндров описаны в
статьях [166, 241]. Экспериментальные данные указанных работ будут
использованы нами при обсуждении результатов аналитических решений
граничных задач.
Основой для анализа спектра собственных частот и форм колебаний дисков и
цилиндров являются, как и в случае прямоугольника, решения ряда основных
граничных задач о вынужденных колебаниях. При этом широко используется
возможность раздельного рассмотрения движений с различными типами
симметрии относительно срединной плоскости, а также возможность упрощения
выкладок за счет вида внешних возбуждающих нагрузок.
Конкретно будут использованы следующие четыре граничные задачи:
2q °r = f (zi)> 2G Хгг *** П ==
-5g-<*z = giri)> -jQ-T;zr=*ot z1*=±h1 (l.i)
f (- Zi) = f (zO; -2^- °r - f (*i). -%r Xn = 0> Tl " a'
= dtg(/i), ~Ш~Г^ = 0< (1-2)
ur = u2 =* 0, гг = о,
~2о °г=*8(гi)> ~20~Tzr=(r)' Z^ - zbH', (1-3)
ur = иг =¦= 0, n = a,
2q в i 8 (ri)" 2G Tzr = dzH. ^ ^
Геометрические характеристики цилиндра и выбор системы координат показаны
на рис. 74. Входящие в формулировку граничных условий функции считаются
достаточно гладкими.
197
2г Основой для построения пол-
ных наборов частных решений в каждой из указанных граничных задач
являются решения вида (9.1) главы 4. Способ использования произвола,
содержащегося в этих If решениях, при конструировании полных и
ортогональных систем функций такой же, как и в подробно рассмотренном
выше случае прямоугольника. Детали выкладок Рио. 74. приведены в
работе [37].
При записи общих решений граничных задач (1.1) - (1.4) удобно ввести в
рассмотрение безразмерные (отнесенные к радиусу а) компоненты вектора
смеще-
Г 2 Н
ний в безразмерные координаты г - ~, z ~~t' '
Конкретный выбор полных систем функций на торцах и боковой поверхности
цилиндра основывается на учете характера граничной задачи с целью
последующего упрощения в исследовании бесконечных систем (см. § 3 главы
5). С учетом этих соображений общие решения граничных задач (1.1) - (1.4)
представляются в следующем виде:
для симметричной относительно плоскости 2 = 0 задачи (1.1) ие = AvJl
