Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 77

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 114 >> Следующая

(Qjr) + ? [AnIl (<7jr) -Ь Вп1г (72r)] cos ti"z - .
72= I
со
- ? Iе! ~ ch PiZ + Df -?*- ch /vj Л (V).
u, = C0sin Ql2-2U"^/° Ш) + Bn /" ((?2r)l sin ri"2 +
naal
+ ? (C, sh pxz + D.t sh p2z) J0 (Х/г), (1.5)
i=i
= A(V-o, х,ф0-, для антисимметричной (изгибной) задачи (1.2)
Чг(tm) 2 K't/l(7l/') + Bn ~*Г /i(<?^)]simi"2 -
со f
- 2 (С/ -JL sh Plz Sh Pizj J, (V).
198
I
?
и, = Со COS Qxz + ? [Ап10 {qs) + BnI0 (q%r)] cosit"z +
П=1
+ f (C, ch pxz + Df ch p"z) J0 {l,r), (1.6)
/*=1
-ММ* о. 1,Ф0.
Для случая симметричной смешанной задачи (1.3) компоненты вектора
смещений имеют вид
оо
и, = A0J! (Qjr) + 5] ИЛ (дг) + ЯЛ (дг)] cos ti"z -
n=l
- ? (с/ %ch PS + DiTTch P*z) J1 (V).
"*--------? [A* ДГ ;o <ft'> + Вп /о (7/)
sin rjnz +
+ ? (С/ sh pjz + Dj sh p2z) J0 (l,r), f=i
(1.7)
= MM=o-
И, наконец, чисто изгибная деформация цилиндра для смешанных граничных
условий (1.4) описывается следующими выражениями:
ue = -B0±-Jl (?V) - С0A-sin 02z + ?
n=l
9i
11n
+ Bn^-I1 (72r)] sin r)nz - f (C/-^-shPjZ + Di -Jj-sh p2z) /1 (V).
(1.8)
ut = Л0У0 (Q2r) + А- [У0 (Qir) - У0 (Qsr)] + A (cos S^z- cos Q2z) +
oo oo
+ j + Bnh{4*)\ COSTi"z + 2 (CjchpjZ + D/Chpaz) X
n=.l /'=1
x У0 (V),
Tin
ял
/[ ' i A (M - О, X./ 0.
Во всех этих выражениях Л0, В0, С0, Ап, Вп, С/, Dt - произвольные
постоянные, а
р1 = Х]-$, 1*1.2. (1.9)
iff
Соотношения (1.5) - (1.8) позволяют рассматривать граничные задачи типа
(1.1) - (1.4) и в наиболее общем случае, когда все четыре функции,
входящие в граничные условия, задаются отличными от нуля. Однако в тех
случаях, когда интерес представляют спектр собственных частот и формы
колебаний, постановка таких более общих граничных условий
нецелесообразна.
Структура выражений (1.5) и (1.6), предназначенных для удовлетворения
граничных условий (1.1) и (1.2) в напряжениях, довольно ясна и совпадает
с подробно обсужденной структурой решения для прямоугольника. Эти решения
обладают необходимой степенью полноты, а определение произвольных
постоянных в них связано с решением бесконечных систем. Как и в случае
прямоугольника, для их решения пригоден описанный в § 3 главы 5 алгоритм,
если соблюдается условие парности касательных напряжений в угловых точках
[38].
Структура выражений (1.7) и (1.8), предназначенных для удовлетворения
смешанных граничных условий, более сложна за счет некоторых
дополнительных решений, стоящих за знаками сумм. При выборе этих решений
учитываются два обстоятельства. С одной стороны, наборы частных решений
должны быть полны с точки зрения удовлетворения граничных условий как по
смещениям, так и по напряжениям на соответствующих поверхностях. С другой
- появление некоторых слагаемых обусловливается возможностью построить и
в этом случае эффективный алгоритм решения бесконечных систем для
определения произвольных коэффициентов рядов. Более полное обсуждение
выражений (1.7) и (1.8) проводится в § 7 данной главы.
§ 2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ В НАПРЯЖЕНИЯХ
Последовательность выкладок, связанных с подчинением общих решений (1.5)
и (1.6) соответственно граничным условиям
(1.1) и (1.2), достаточно ясна и аналогична подробно обсужденной выше для
прямоугольника. Как для симметричной, так и для антисимметричной задачи
граничные условия для касательных напряжений позволяют установить простые
связи между искомыми величинами. Так, для задачи (1.2) однородные условия
для касательных напряжений удовлетворяются, если принять
А - R Т1"+ ^ /х (4а)
Л"- 2 q1<j2 •
C^-Dr^X- сь Р21 (2.1)
1 1 2%) ch P\h
Трудности, связанные с обращением в нуль знаменателей в соотношениях
(2.1), преодолеваются так же, как в случае прямоугольника (см. § 2 главы
5).
200
Условия для нормальных напряжений приводятся к системе двух
функциональных уравнений. Обычный путь - разложение по полным и
ортогональным системам функций - приводит эти уравнения к бесконечным
алгебраическим системам. Для получения коэффициентов систем кроме
соотношений (2.9), (2.16) главы 5 необходимо использовать разложение
/0(рг) = JhM. + 2pIlip)Y --Mfl---------------, 0<r<t. (2.2)
При этом получаем следующую бесконечную систему для антисимметричного
случая:
: 8 о>
Q(
хпРп (д) + т=%Г S
У1
К
vQo
2vQx ~Уо h( 1 - 2 v)
cos йih
= fn, п= 1,2, ...
2%i
v?2|
+ Pi v 'Чя + p\
- 8i, / ¦- 1"2" ...
(2.3)
Здесь введены обозначения
Уо = Л0Йг, (Ц ch pA xn - (- \)n+]Bn -5- h
(<?*),
(2.4)
p гм = я - (T1" + ^)2 /o ________
2r)2" '
Д, (p) = h
p2 th paft-
Щ + p!)2
0 (^/r)
/(Z) = 2 (- 1)7" Sin ri"z; g (Г) = g0 + ? g/ -flxy •
"=1 f=1 J 0
Для симметричного относительно плоскости z = 0 случая деформирования
цилиндра бесконечная система приобретает вид
[ 1 - у I /0 ч J1 (йх)1 . у sin *° [ 1 - 2v 0 1 Qi J У° (1
- 2v) hQf
2(1 -2v)?j ф*
v 2vJi (Qi> (1 - 2v) Qi
Уо'
1 - v , vO|fl|
1-2v
cos Qx/t j-s-2j -Г
1 -- ZV ZTL, Л
Я="1
1 go.
201
nnW+ + + ^ >/ /
2vQi sin Q,h , . •_
"-1.2. ...
Q? oo / 2Л? vQ| \
SAW + ТГГ51 g, -^5-(-^T- -J-)'-
2VSV, (Qi)
A0
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed