Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
значениях частоты. Очень важным является то, что при Q = 0<г> и R = R (I,
т) определитель бесконечной системы обращается в нуль, и, следовательно,
имеем случай трехкратного выражения собственной частоты Q = J/2 для
соответствующих значений R. Собственные формы дисков для этой частоты
образуются линейной комбинацией следующих трех типов движений:
и{г1) = 0, и*1* = A sin pmz;
"<2) = BJ, фтг), ui2) == 0; (5.7)
U?] = -CJ1 фтг) cos pmz, u?] = CJQ фтг) sin Pmz.
Количественные соотношения между этими типами движений определяются
начальными условиями или характером вынуждающей нагрузки. Так, при
возбуждении колебаний равномерным нормальным давлением третий тип
колебаний (мода Кри - Лэмба) не возбуждается.
Наличие вырожденных мод в колебательных системах в общем случае
значительно усложняет задачу экспериментального исследования таких мод
[268]. Ниже подробно анализируется структура спектра в окрестности точек
трехкратного вырождения в зависимости от степени связи между отдельными
типами движений (разные значения v).
Все ветви третьего семейства на рис. 84 получены при анализе бесконечной
системы (5.2). Кинематика соответствующего типа движения характерна тем,
что радиальные иг и осевые иг смещения оказываются связанными. Связь
возникает за счет способности
216
упругого тела сопротивляться сдвигу, и, следовательно, именно ввиду
возможности существования этого типа движений могут возникать такие
особенности в модах колебаний, которые не имеют аналога в электродинамике
и акустике.
То, что все ветви третьего семейства порождаются определителем системы
(5.2), на первый взгляд может служить основой для ожидания большой
степени подобия в соответствующих формах колебаний. Однако оценка
величины собственных частот этих мод и сопоставление спектра g
дисперсионными кривыми служат основанием для того, чтобы выделить первую
ветвь указанного семейства. Это единственная ветвь, которая частично
расположена в той области частот, где в бесконечном слое существует
только одна распространяющаяся мода (й < й*). Распространяющейся моде
соответствуют резонансные частоты диска, определяемые на рис. 84
гиперболами (#-моды). Следовательно, первой ветви третьего семейства в
области й < й* соответствуют резонансы на неоднородных волнах - краевой
резонанс. Важно, что в рассматриваемом случае v = 0 имеем "чистое"
проявление краевой моды без связи ее g движениями на распространяющейся
моде. Это свидетельствует о возможности существования резонансов в
бесконечных областях типа полуполосы для случая v = 0. Более подробный
анализ данного вопроса и подтверждение такого предположения приведены в
главе 7.
Для более подробного анализа остальных ветвей третьего семейства
целесообразно обратиться к увеличенному изображению спектра в области
частот Й* < й < й*. Соответствующая данным рис. 84 часть спектра
представлена на рис. 85, где опущены гиперболы, соответствующие $-модам,
и первая ветвь третьего семейства.
В поведении остальных ветвей третьего семейства (пронумерованных цифрами
2-7) обнаруживается ряд особенностей, на которые следует обратить
внимание. Видно, что каждая из них образована последовательно
чередующимися участками, соответствующими убыванию собственных частот с
ростом R, и участками, характеризующимися возрастанием собственных частот
с ростом R. Само по себе наличие вторых участков является в определенной
степени примечательным, поскольку указывает на существование таких типов
движения в высокочастотной области, которые трудно было предсказать на
основе представлений о колебаниях упругих тел, выработанных в рамках
теорий стержней и пластин.
Важной особенностью спектра, представленного на рис. 85, является
существование зон, одна из которых выделена кривой L. В случае v Ф 0
наличие таких зон является естественным и отражает факт связи между
различными типами движений [37]. Полагая v = 0, мы развязали некоторые
типы движений, следствием чего является наличие вырожденных частот
(пересечение кривых на рис. 84). Однако оказывается, что и в этом случае
в третьей части общего решения (5.1), по сути, содержатся два связанных
различных типа движений. Именно поэтому нельзя классифицировать эти
кривые
217
как отвечающие случаю v = О Л-моды, по терминологии работы [195]
Правильную классификацию можно получить лишь на основе анализа форм
колебаний на отдельных участках каждой кривой третьего семейства.
Для решения поставленной выше задачи - понять особенности толщинного
резонанса - также важно установить, взаимодействие каких типов движения
определяет представленный на рис. 85 характер спектра. Из опыта
расшифровки взаимодействия планарных колебаний с краевой модой следует,
что для классификации типов движения необходимо проанализировать формы
колебаний вдали от областей их сильного взаимодействия, т. е. областей
типа выделенных кривой L. Для восходящих участков на рис. 85 точки
спектра, соответствующие ожидаемым наиболее "чистым" формам колебаний,
