Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Описанный выше способ трактовки интегралов в выражениях для смещений
(2.10) позволяет, в принципе, вычислить их во всем полупространстве.
Однако прямое вычисление интегралов при больших значениях R - Ухг + гг
может быть затруднено наличием быстро осциллирующих функций в
подынтегральных выражениях. При таких значениях R > а целесообразно
получить асимптотические формулы, удобные для анализа дальнего поля.
95
Основой для получения таких асимптотических выражений является общая
теория асимптотического вычисления контурных интегралов в комплексной
плоскости методом наибыстрейшего спуска [141]. Эта теория развита для
интегралов типа
/(Я) = ^Ф (С) ехр [/??(?)] d?, (4.1)
где Ф (c) и q (c) - аналитические функции комплексной переменной ? вдоль пути
интегрирования L, уходящего концами в бесконечность; R-большой
положительный параметр.
Асимптотическое представление интеграла (4.1) существенно зависит от
взаимного расположения особых точек функций Ф (c) и q' (c), нулей производной
с/'(c) и контура L. Из большого числа возможных различных ситуаций при
анализе выражений (3.1) необходимо различать два случая.
1. Контур L охватывает точку ветвления ?в функции Ф (c), которая также
является точкой ветвления функции q (c). Тогда для интеграла (4.1) имеем
следующую оценку [141]:
X ехр i^Rq (?с) -f i -J- sign [Im cf' (c))]J. (4.2)
Здесь ?<.- седловая точка функции q (c), т. е. корень уравнения
<?'(c) = о.
2. Контур L охватывает точку ветвления ?в функции Ф (c), в окрестности
которой функция q (c) регулярна. В этом случае справедлива асимптотическая
оценка
''[R)" ¦* 7?ЯГ|(Е - Ф''D1 '"¦х
X ехр {Rq (У - i arg [- q' (?B)]J. (4.3)
Знаки в правых частях обеих асимптотических формул определяются в
соответствии с принятым правилом знаков для направления обхода контура L.
Указанные на рис. 31 направления обхода петель считаются отрицательными,
и поэтому далее при использовании формул (4.2) и (4.3) выбирается
отрицательный знак.
В соответствии с представлением (3.1) каждый из интегралов, входящих в
выражения (2.10), состоит из трех слагаемых - кроме значения вычета в
точке рэлеевского корня еще есть интегралы по двум петлям Ьг и L2,
обходящим разрезы соответственно из точек ветвления ? = kx и ? = k2. При
использовании соотношений (4.2) и (4.3) для асимптотической оценки
интегралов по петлям необходимо обратить внимание на следующее
обстоятельство, имеющее место применительно к конкретным выражениям
(2.10).
Рассмотрим, например, первый интеграл в выражении для их,
96
содержащий в подынтегральной функции множитель ехр (i^x - - у^). При
вычислении этого интеграла по петле Ьъ т. е. по петле вокруг точки
ветвления, общей для экспоненциального множителя и функции F (?), нужно
пользоваться формулой (4.2). При этом получаем, что с ростом величины R
рассматриваемая составляющая убывает как RДля вычисления этого интеграла
вокруг точки ветвления ? = k2 следует исходить из формулы (4.3), которая
указывает на то, что соответствующая величина убывает с ростом R как
Яа/2, Таким образом, с точки зрения скорости убывания с ростом величины R
интегралы по петлям Lx и L2 для первого слагаемого в выражении для их
различаются на порядок. Поэтому в дальнейших выкладках, ограничиваясь
лишь главным членом асимптотики, интеграл по петле Ь2 можно не учитывать.
Ясно, что подобные рассуждения в полной мере применимы и к остальным
интегралам в (2.10). При этом, например, при вычислении второго
слагаемого в выражении для их в (2.10) можно не учитывать вклад по петле
Lt.
Отметим также, что в соответствии с равенствами (3.1) каждый интеграл в
(2.1) дает определенный вклад в рэлеевскую волну. Для всех случаев, кроме
г = 0 (0 = 90°), соответствующие слагаемые обладают экспоненциально
убывающими по R множителями. В связи с этим для внутренних точек
полупространства на большом расстоянии от области приложения нагрузки их
можно не учитывать. Выражения для смещений точек границы приведены далее.
После этих замечаний становится понятной структура асимптотических
выражений для компонент вектора смещений, которые принимают следующий
вид:
Если учесть временную зависимость всех величин, определяемую множителем
ехр (-mt), то соотношения (4.4) указывают, что каждый компонент вектора
смещений представляет собой, по сути, суперпозицию продольных и
поперечных бегущих волн с соответствующими волновыми числами kx и k2.
Структура волнового поля
X ехр (ад - I +2kl-T^Sw sin2 9 (sin2 9 - Х
(4.4)
7 184)
97
становится более ясной, если от представления вектора смещений в
декартовых координатах перейти к его представлению в полярных
координатах, которые определяются соотношениями
uR = их cos 0 + иг sin 0,
а ¦ а (4-5)
"9 = Ux COS 0 - Uz sin 0.
Образовывая из асимптотических выражений (4.4) комбинации (4.5), получаем
и** V ж ?(??) (к'г ~2 sin2 0) cos 9 ехр iikiR
Из формул (4.6) видно, Что на больших расстояниях от места приложения
нагрузки продольные волны вызывают преимущественно радиальные смещения, а
