Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 39

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 114 >> Следующая

поперечные волны -окружные. Такое разделение по кинематике послужит базой
для обоснованного разделения потоков энергии в волновом движении по двум
типам волн, несмотря на то что принцип суперпозиции энергии для волн,
бегущих в одном направлении, не применим. Отметим также, что при вычисле-
/ 1 у/,
нии величины Ism2 0-------^-1 необходимо пользоваться правила-
ми, которые введены для вычисления значений у2 на верхнем листе римановой
поверхности.
В частном случае воздействий типа сосредоточенной вертикальной или
горизонтальной силы, двойной силы, центра сжатия изящный вывод выражений
для смещений в дальнем поле приведен в работе [53]. В основу вывода
положен анализ процесса отражения волн от свободной границы
полупространства.
Выражения (4.6) не пригодны для вычисления компонентов смещений для
дальнего поля в точках граничной поверхности (х )>> а). Здесь необходимо
прежде всего учесть вклад рэлеевской волны. Кроме того, для оценки
асимптотических значений интегралов в (3.1), вследствие того что при z =
0 все показатели экспонент являются регулярными функциями в окрестности
точек ветвления функции F (?), следует использовать соотношения (4.3).
Окончательно для вычислений смещений точек границы полупространства
получаем следующие асимптотические выражения:
7 2ЙЯ - kl - 2 УkR ~ k\ VkR - kl t ux {x, 0) = - 2/ (ft*) kR -5-*--------
----------- exp (ikRx) +
i ol/ 2 f(k\)V k2 - j . Зя
+ 21/- n 5---------------r,- exp iLx + i -T-
v я <2 /Я - кЬчЬх)/' 1 4
иг(x, 0) = 2kit----Rp, (fe*-------exp(ikRx) +
i i / 2~ ? ^ *1^2 /.. . . 3n \ ,
+ V V и,,)1'.'ijf-tf). exP ('*¦* +1 -) +
Как и следовало ожидать, основной вклад в возмущение плоской границы
полупространства на достаточно большом расстоянии от места приложения
нагрузки вносят рэлеевские волны, которые в рассматриваемом случае
плоской задачи не убывают по амплитуде. Движения, соответствующие
продольным и сдвиговым волнам, убывают с ростом х как х3^.
В заключение отметим следующее. Основой найденных выражений являются
общие асимптотические формулы (4.2) и (4.3). Получение таких формул
базируется на использовании стандартной техники метода наибыстрейшего
спуска [141]. Однако вид функции Ф (?) в (4.1), имеющей в данном случае
две точки ветвления и полюс, значительно усложняет конкретные выкладки,
связанные с построением пути наибыстрейшего спуска на верхнем листе
четырехлистной римановой поверхности. Примером таких трудных ситуаций
может быть случай, возникающий в связи с возможностью совпадения седловой
точки ^ = k2sin 0 с точкой ветвления ?в = = kx при некотором угле 0.
Подробное обоснование справедливости асимптотических оценок интегралов в
том виде, как это представлено выше, содержится в работе [233].
Важным вопросом, возникающим по отношению к приведенным выражениям для
смещений (4.6), является вопрос о возможности проведения вычислений с их
использованием. Суть вопроса в том, какие значения R можно считать
большими. Необходимый для ответа на этот вопрос анализ можно провести
лишь в рамках более полных, чем (4.2) и (4.3), асимптотических выражений,
учитывающих, например, возможность близкого расположения седловых точек и
точек ветвления. Не останавливаясь на подробностях такого анализа, укажем
на главный вывод-формулы (4.6), по существу, предполагают не только
малость по сравнению с единицей отношения длины волны к величине R, но и
выполнение неравенств
kxR(l - sin0)^> 1, k2R(l - sin 0) > 1. (4.8)
Эти неравенства в определенной мере показывают, что степень "близости"
седловых точек и точек ветвления также имеет относительный характер.
7*
§ 5. ЗАДАЧА ЛЭМБА. НАПРАВЛЕННОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
Из формул (4.6) видно, что направленность излучения и энергетическая
эффективность возбуждения волн в полупространстве в значительной мере
зависят от распределения нагрузки по его поверхности. После выхода работы
Лэмба [207] наибольшее внимание при конкретных вычислениях уделялось
случаю равномерного распределения нормальных напряжений или предельному
случаю сосредоточенной силы. Подробный исторический обзор проблемы и
описание работ, содержащих решения большого числа конкретных задач,
сделан в статье [53] и обзоре [230]. Здесь мы приведем лишь данные о
некоторых характеристиках волновых полей в полупространстве, основываясь
на работах [53, 214, 233, 286].
Выведенные в предыдущем параграфе формулы для смещений в дальнем поле, т.
е. на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны и размером области
нагружения (неравенства (4.8)), являются исходными при исследовании
направленности создаваемого внешней нагрузкой волнового поля. Здесь мы
остановимся на случае равномерного нагружения, т. е. когда / (х) = /0 =
const в (2.1). Преобразование Фурье при этом дает следующее выражение:
(5.1)
В предельном случае сосредоточенной силы при а 0, 4Gf0a Q
имеем
<5-2>
Для случая сосредоточенного воздействия (5.2) характеристики
направленности, т. е. зависящие от 0 множители в (4.6), имеют вид
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed