Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
= й2 состоит из отрезка вещественной оси 0 ^ k2 и также проходит по
положительной мнимой полуоси г] >• 0. Очень важно при переходе в (3.1)
к интегралам по берегам указанных разрезов правильно
учесть знаки мнимых частей функций у* и у2. Подробности такого
перехода проиллюстрируем на примере интеграла (3.1), для которого у = уг
Интеграл по петле с учетом знаков мнимых частей yt и у2, показанных на
рис. 31, преобразуется в сумму четырех интегралов по следующим
интервалам:
оо > 1) > 0, у! = i У if + k\, Уа •= - i Уi)2 -f- kl; yx = i У k\ - ?2,
y2 = - i V k\ - ?2; ki>l>0, y1 = -iVk\ - |2, ya = - i У k\ - |2;
Q.<r]<oo, y1== - iV^rf + k], Ya = - i V~rf+ kl
В итоге получаем
^ бХР ~ YlZ) ^ =
C f (tri) exp (- i\x + l V if -f k\z) idi\
) (2r)2 + ?f)2 - 4rj2 V Tl2 + k\ V if + k\
92
до ¦-
б f (ft)) ехр (- r\x - IУ if -f *?2) Wt)
g (2r)2 + kp2 + 4rj2 Y rf + k\V T)2 + *2
Г f (?) exp (tgjc - t - g2z) rfg_______________________________________
i (2g2 - ft*)* _ 4|2 /k\ _"|2 /ft^-g*
t, ____________
^ (?) exp (%* + t К fe? - ?") rfg
i
-----------------------------------------(3.3)
(2|2 - kp2 + 4|2 у k\ - g2 V 4 - I2
Интеграл по петле L2 представляется в виде суммы шести интегралов по
следующим интервалам:
оо > 1} > 0, ух = t V + ft2, уа = i ]/V + ft!;
Yi = г ^1 - I2, Ъ-iVkl-l^
h<Kb* h = Va = t'V^^1 - l2;
fta>|>ftIf у1==1/Г?2 -fti, ya = - iV k\- |2;
yi = iV k\-f, yt = -iV kt-f-
0<t]<oo, yl==iV ц* + k2u y2 = - iV ц2 + ft!
Таким образом, получаем
I "fff exp - YlZ) ^ =
00 /-~ . . f* t|)(iT)) exp(-t)X -iV T)2 + fefz) idi)
J (2t)2 + fe2)2 + 4rf Kn2 + ft? Kh2 + 4
(3.4)
С tj) (tr)) exp (- r)X - i V+ k\z) Mr)
j) (2t)2 + ftf)2 - 4t)2 l^rf -f k* V tf + ft*
С ^ (§) exp (ilx - i Vk\ - ?2г) rfg ________
(2|2 - k\)2 + 4g2 /ft? - g2 Vk\ - g2
^ ______________________________
_ С 4> (I) ^p (ilx - iV k\ - 12г) dB, г) (2g2 - kp2 - 4?2 Vk\-i2V 4-?
[ Г ' гЩехр(г~х- К l2~k]z)c^
I (21* - $2 - 4g21' К g2 - V k\ - I2 _ [ f (?) exP (*S* - У ь2 - ffi) dj
I (2|2 - kp2 + 4gH V I2- k]V k$-?
93
Следует обратить внимание на то, что при записи интервалов интегрирования
в (3.2) и (3.4) соблюдена очевидная связь с направлением обхода петли.
При подстановке выражений для интегралов по петлям в соотношение (3 2)
некоторые интегралы взаимно уничтожаются, и в результате приходим к
следующему соотношению:
00
J -jrj§- ехр (%х - Ylz) dl =
-00
= 2ni ехр (ikRx - VkR - k\z) -f
w
+2S
+ 2<J
t|) (ft)) exp (- r)x) sin (Vr\2 + k\z) dr\
о (2t)2 + k\)2 - 4r)2 Vrf -f k\ V+ k\
ft, ,-------------
ip (E) exp (ilx) sin (V k\ - E2z)
+
(2|2 - k22)2 + 4|2 V k\ - I2 V k\ - I2
_ g. Г 14 (6) V ? - Щ V kl - s2 exp (ilx -V E2-fefodj
1 J (2g2 - kl)* + 161* (I2 -k])(k]~l2)
Полученное соотношение, выражающее исходный интеграл вдоль вещественной
оси, имеет значение не только с точки зрения отыскания удобных формул для
проведения вычислений Это равенство не является тождеством в строгом
математическом смысле, поскольку интеграл слева неопределен, в то время
как справа имеем однозначно трактуемое выражение Поэтому равенством (3
6), по существу, задается правило расшифровки математически
неопределенной величины в соответствии с физическим смыслом задачи.
Аналогично преобразуются и другие интегралы, входящие в соотношения (2
10). После несложных, но достаточно громоздких выкладок для функций их
(х, г) и иг (х, г) можно получить явные выражения в виде суммы однозначно
определенных интегралов. Здесь мы приведем только формулы для смещений на
свободной поверхности х > а:
°> - - й ~2 У'й-Й X
X ехр (tkRx) -f
+ - j -У (l) V (262- <4) ехр (Цх) d|
*,
(2g2 - kiy + mi4 (i2 - fcf) (k\-\2)
,. J(kR)k\ V F' (kR)
ug(x, 0) - 2/ -¦ F.ib*-----L exp(ikRx) +
94
J (!Г|) VГ|2 + k\ ехр (- Г]Х) dtj 6 (2г)2 + kl)2 - \-\fV~ Г]2 + k\ У Г]2
+ k\
I f f(l)V k\ - S2 e^P (Ях)
Щ f f(l) V " 3 Г2?2 - -
0J (2?2 - klf - 4?2 К if - ? К 4 -I2
8**| Г /(E) S2 (g2 - k\) V k\ - g2 exp (tg*) dg
" 3 (2§2-^)"+l6M(i2-^)
Формулы (3.7) неприменимы в случае |л:| ^ а, поскольку при замыкании
контура в верхней полуплоскости условия леммы Жордана не выполняются Для
получения формул смещений в этом случае необходимо представить функцию f
(|) в виде
1 (c) = fi (c) ехр №) + fi (?) ехр (- Щ. (3.8)
Такое представление легко получается при последовательном ин-
тегрировании по частям исходного соотношения (2.2). После этого замыкание
контура для первого слагаемого следует проводить в верхней полуплоскости
?, а для второго -в нижней. Не останавливаясь в деталях на выкладках,
аналогичных приведенным выше, приведем только выражение для 1т"г(л:, 0):
1т иг (х, 0) = |2зт VkR - k\ cos (kRx) -
? ___________________
Г - V к2, - g2 COS &X) dg
- 2 /(c)------------J- Л-__ -===. - (3.9)
3 (2E2 - k\f + 4g2 V k\ - i2V *4-i2
0
f •= 12 (c) - *?) V - I2 cos dx) d\ I , , ^ ,
' 8 У (r) (2g, _ ft2j4 + 16J2 (|2 _ *2) {k2 _ gl) I (M"-0-
Эта формула используется даЛее (см § 5 данной главы) для вычисления
работы внешних сил.
§ 4. ЗАДАЧА ЛЭМБА. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СМЕЩЕНИЯ В ДАЛЬНЕМ ПОЛЕ
