Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 44

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 114 >> Следующая

Теоретические результаты исследования свойств нормальных мод в упругих
волноводах показали наличие ряда интересных особенностей, которые не
имеют аналога для мод в акустических и электромагнитных волноводах. Это
обстоятельство стимулировало проведение довольно большого объема
экспериментальных работ, целью которых было подтверждение "реальности"
характерных черт нормальных мод. Мы не будем анализировать здесь
постановку экспериментов. Отметим лишь, что в целом они подтвердили
выводы, полученные в рамках модели идеально упругого тела для свойств
нормальных мод. Указание на конкретные подходы, описание техники
эксперимента и обзор результатов можно найти, например, в работах [20,
114, 160, 2881.
§ 1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ SH-ВОЛН В СЛОЕ
В главе 2 указано на существенные различия в отражении от свободной
поверхности SH-волн и упругих волн других типов (Р и SV). Отражение SH-
волн происходит без возбуждения иных типов движения, что обусловливает
относительную простоту структуры волнового поля в слое для этого случая.
Говоря о волноводе, в данном случае о плоском волновом поле в слое, мы
предполагаем, что оно удовлетворяет некоторому условию периодичности или
равноправности точек слоя. Смысл этого условия в том, что если на
произвольной плоскости z = z0 слоя (рис. 35) выделить некоторые точки А{
и А2, то состояние, которое наблюдается в точке Аг в момент времени /х,
должно наблюдаться в точке А2 в момент времени t2. Из этого следует, что
волновое поле в каждой точке волновода с плоскими границами может быть
лишь суперпозицией двух плоских волн, направление распространения которых
составляет определенный, зависящий от частоты угол 0 с осью волновода Ох.
В данном случае в соответствии с формулами (4.6) главы 2 представление
единственной составляющей иу вектора смещений через плоские волны имеет
вид
иу'1 = ехр [iks (хcos 0 + z sin 0)], и{у] = U2 ехр [iks (хcos 0 - z sin
0)], где ks = (л/cs.
in
Для полной определенности волнового поля в слое необходимо определить
зависимость угла 0 от частоты и связать. между собой значения амплитуд иг
и U2. При решении задачи рассмотрение удобно провести отдельно для
симметричного и антисимметричного относительно плоскости z = 0 волновых
полей. Суперпозиция этих случаев позволяет представить любое поле при
однотипных граничных условиях на поверхностях г = ± h.
Рассмотрим случай симметричного волнового поля, т. е.когда суммарное
смещение ич = t/y -f uf является четной функцией 2. При этом на плоскости
2=0 должны обращаться в нуль касательные напряжения хгу. Отсюда следует,
что = U2. Для определения угла 0 обратимся к рис. 35. В каждой точке
границы г = = h вследствие закона отражения такого типа волн от свободной
границы (коэффициент отражения равен единице)
иУ> = uf (г = h) (1.2)
и, следовательно,
ехр (iksh sin 0) = ехр (- iksh sin 0). (1.3)
Отсюда находим, по существу, резонансное условие для угла 0: 2ksh sin 0 =
2шт (п = 0, 1, 2, ...). (1.4)
Аналогично в антисимметричном случае из условия иу = 0 при 2 = 0 находим,
что Ut = - U2, а из условия отражения на поверхности z = h получаем
следующие резонансные соотношения для угла 0:
2&s/isin0 = (2п -f- 1)я (п - 0,1,2,...). (1.5)
Равенства (1.4) и (1.5) являются дисперсионными соотношениями
соответственно для симметричных и антисимметричных волн в слое. Каждому
значению п соответствует своя нормальная волна, характеристики которой
полностью определяются дисперсионным соотношением. Такой подход к выводу
дисперсионных соотношений для жидкостных волноводов использован в работе
[141.
При рассмотрении волноводного распространения обычно вводят постоянную
распространения ?= ks cos 0. С использованием этой величины,
тригонометрического тождества sin2 0 -f- cos2 0 = 1 и равенств (1.4) и
(1.5) дисперсионные соотношения представляются в виде
Первое равенство относится к симметричному случаю, второе - к
антисимметричному.
В терминах введенных обозначений выражение для смещений в слое для двух
типов симметрии можно представить в виде
flJI
Uy = 2(/0cos - z ex p {ilx),
uy= 2U0i sin - 2n Я zexp(tgx). (1.7)
Каждое из этих выражений представляет собой нормальную волну,
распространяющуюся в положительном направлении оси Ох с длиной А = 2я/?,
фазовой скоростью с = и с изменением амплитуды по толщине по
синусоидальному закону. Для первых двух (не считая нулевого) симметричных
и первой антисимметричной нормальных волн характер движения частиц слоя
показан на рис. 36.
Полученные представления для нормальных волн (1.7) являются инвариантными
по отношению к замене величины \ на -?. Это означает, что для каждой
нормальной волны, бегущей в положительном направлении оси Ох, есть
"двойник" - нормальная волна, бегущая в отрицательном направлении.
Суперпозиция таких двух волн, взятых с одинаковой амплитудой, дает
стоячую волну, которую можно рассматривать как собственную форму
колебаний слоя.
Рассмотрим дисперсионное соотношение для симметричных волн в форме (1.4)
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed