Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
волн становятся комплексными, причем
^2 = ^2 "I" k2 >• 0, I &2 I kl. (1.9)
В связи с этим точки ветвления ? = ± k% смещаются с вещественной оси в
первый и третий квадранты плоскости ? (рис. 30). Как указано
выше, разрез целесообразно провести по линии Re у2=0.
Это равенство эквивалентно следующей системе соотношений:
?r| - k2k2 = 0, (1.10)
ts-rf-(k2)2 + (k2f<0,
которые означают, что величина у\ является действительной и
отрицательной. Соотношения (1.10) определяют разрезы в виде частей
81
гиперболы ?т) = klk], показанных на рис. 30. Простое вычисление позволяет
определить знак мнимых частей на берегах разрезов. Они указаны на рис.
30, который можно рассматривать как изображение верхнего листа ри-мановой
поверхности, на котором Re у2 > 0.
При переходе от (1.7) к контурным интегралам необходимо зафиксировать,
для каких значений х (х < -а; \х \ < а\ х > а) рассматривается функция иу
(х, г). Во всех случаях выкладки однотипны, но для х > а замыкание
контура следует проводить в верхней полуплоскости, а для х < -а - в
нижней. Это связано с последующим использованием леммы Жордана для оценки
интегралов по окружностям большого радиуса [97]. Для |х|< a, z - 0 в
зависимости от J (|) выражение (1.7) следует представить в виде суммы
двух интегралов. Замыкание контура для одного из них необходимо проводить
в верхней полуплоскости ?, а для второго - в нижней. Последующие выкладки
проводятся для значения х > а.
Рассмотрим интеграл в (1.7) вдоль замкнутого контура, показанного на рис.
30 и состоящего из отрезка вещественной оси MN, дуг окружностей MQ и NP и
петли L, обходящей точку ветвления. Поскольку подынтегральное выражение
не имеет особенностей внутри указанного контура, то по теореме Коши
¦?^ехр(фе- Yaz)d? = 0. (1-11)
Здесь f (?) - аналитическая функция, значение которой на вещественной оси
совпадает с величиной f (|).
Интеграл по замкнутому контуру (1.11) можно представить в виде суммы
интегралов по отрезку вещественной оси MN, дугам окружностей NP и MQ и
петле L вокруг точки ветвления. При предельном переходе, когда отрезок MN
охватывает всю вещественную ось, вследствие выбора контура в верхней
полуплоскости и наличия экспоненциально убывающего множителя в
подынтегральной функции получаем
На первый взгляд из вида равенства (1.12) не очевидна целесообразность
проделанной работы по замене исходного интеграла контурным. Отметим
однако, что для интегралов по петле вокруг разреза из точки ветвления
получены эффективные методы асимптотических оценок при больших значениях
R = j/x2 + z2 (дальнее поле) [1411. Переход к контурному интегралу может
дать некоторые преимущества с вычислительной точки зрения также при
анализе ближнего поля. Для этого данный интеграл следует рассмотреть при
отсутствии демпфирования, т. е. при й2 = 0. Тогда разрез принимает вид,
указанный на рис. 30 волнистой линией. Если совместить петлю L с берегами
разреза, то, учитывая знаки мнимой части у2 на левом (Im у2< 0) и правом
(Imy2 > 0) берегах, интеграл по петле L можно представить в виде
В связи с наличием экспоненциально убывающего множителя в интеграле в
бесконечных пределах его вычисление может оказаться проще, чем вычисление
исходного интеграла вдоль вещественной оси. Окончательно для вычисления
смещений при х > 0 имеем следующее равенство:
При вычислениях для больших значений R следует пользоваться
асимптотическими оценками интегралов в комплексной плоскости вдоль пути,
концы которого лежат в бесконечности. Вводя в рассмотрение полярные
координаты R, 0 (см. рис. 29), х = R sin 0, z = R cos0, интеграл по петле
L представляем в виде
Рассматриваемый интеграл по контуру в комплексной плоскости имеет
стандартную форму
L
(1.13)
(1.14)
L
I(R) = J(r)(C)exp[^(Q]dS,
L
(1.15)
85
где
ф(0- ?(D = cos 0. (1.16)
Асимптотическое представление величины этого интеграла как функции
большого параметра имеет различный вид в зависимости от расположения на
комплексной плоскости седловых точек функции q (?) и особенностей функции
Ф (?)•
Единственной особенностью функции Ф (?) в нашем случае является точка
ветвления ?в = ^2- Для определения седловой точки функции q (0 находим ее
производную
/ dq (Q -а ? cos 0
Ч (D = .,1 = t Sin 0----2----5-rr- .
4 Vb С • (?a - Л*)1'.
Поскольку на рассматриваемом листе римановой поверхности (k\ sin2 0 -
&2)1/г = - ik2 cos то точка ^ = k2 sin 0 является корнем уравнения q (?)
= 0 и, следовательно, изолированной седловой точкой. Соответствующая
деформация контура L [1411 позволяет получить следующее асимптотическое
выражение для / (R) в
(1.15) при больших значениях R:
/(?) = _[ Ф (Се) ехр | Rq (Сс)| + о (R~3/').
В нашем случае q" (CG) = - k s|nQ , и окончательно получаем
'(/?)-]/-^-/(*2 sin 0) exр iik^R ^
(1.17)
Таким образом, на большом расстоянии от поверхности (0 Ф Ф 90°) для
вычисления компоненты вектора смещений можно использовать выражение
иу (R, 0) ~ f sin 0) ехр |i (ktR
(1.18)
3ji
т
Характерно, что направленность излучения и его эффективность полностью
