Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
потоков мощности в каждом полупространстве.
Для случая падающей SV-волны в первом полупространстве имеем следующее
выражение для Pi1' (случай до критического отражения):
W' = А-(Ш78 (1 + ST) (SlAl - sHi - r&b. (5.10)
Аналогично во втором полупространстве (случай докритического
преломления)
Pi2' = -?-<^(1 + si) (Als, + Ф lra). (5.11)
Здесь закон сохранения энергии выражается равенством Р\ = PI или
G1Aos1 (1 4- si) = Gx (1 4- sf) (SjAi 4" r(Ф0 4- ,
4- G2 (1 + s2) (s2AI 4- г 2Фг). (5.12)
Справедливость этого соотношения легко проверить, непосредственно исходя
из системы (5.8), не выписывая явного выражения для входящих в (5.12)
неизвестных величин коэффициентов отражения и преломления. Для этого
необходимо сложить произведения первого на второе и третьего на четвертое
уравнение в системе (5.8).
В случае, когда какая-либо из совокупности возбуждаемых волн становится
неоднородной, соотношение (5.12), выражающее закон сохранения энергии,
приобретает иной вид. Система (5.8) становится системой с комплексными
коэффициентами, а сами величины Ах, Л2, Фь Ф2- комплексными. При этом для
записи соотношений закона сохранения энергии, усредненных по периоду,
необходимо выполнить выкладки, аналогичные проведенным выше для одного
полупространства. Здесь также оказывается, что средний поток мощности Рг
в неоднородной волне становится равным нулю. Соотношения энергии
приобретают вид
GiAost (1 4- Si) = Gx | Ax p Sj (1 4- si) -f-
4- G2 (s.2 I A.2 f2 -f r2 J Ф.2 P) (I + sf) (5.13)
для случая, когда неоднородной становится отраженная Р-волна;
GxAosx (1 4- si) = Gx | Aj р Sj (1 4" Si) 4~ G21Л2 Р s2 (1 4~ si), (5.14)
если неоднородными становятся отраженная и преломленная Р-волны, и,
наконец,
G,Aos, (1 4-si) = GX\A1 р(1 4- sf) (5.15)
в случае, когда распространяющейся является только отраженная волна.
Аналогично можно записать соотношение энергии для случая падения Р-волны:
Gjtfrj (1 + sf) = Gj (1 + sf) (Ф?гх + Afs,) +
+ G2 (1 4- sf) (Ф2r2 + A2S2), ^ jg^
G^lr, (1 + s?) = G, (1 + sf) (| Ф112 rx -h I Ai\2 (r)i) +
+ G2 (1 -+* s|) s21 A212,
(1 + S?) = Gj (1 + sf) (IФ, I2 Aj + IA I2 S]).
Наиболее простая ситуация возникает при падении распространя ющейся в
более жестком материале (VAG) продольной P-волны на границу раздела с
более мягким материалом (плавленый кварц). В этом случае нет критических
углов и кривые, описывающие распределение энергии по отдельным типам
колебаний, обладают довольно высокой степенью гладкости (рис. 22). При
нормальном падении (0 = 90°) соотношение между отраженной и прошедшей
энергией полностью определяется соотношением волновых сопротив-
(рср) 2
лений материалов В = ^ у (для выбранных материалов В яз
яз 3). Здесь коэффициенты прохождения и отражения по энер-
4 В (В- 1\2
гии характеризуются соответственно величинами и |
Такая ситуация эквивалентна ситуации в акустической задаче (идеальная
сжимаемая жидкость) - здесь сдвиговые волны не возникают.
При уменьшении угла падения 9 появляется как отраженная, так и прошедшая
сдвиговая волна. Однако если в первом полупространстве (YAG) уже при
небольшом отклонении от нормального падения отраженные сдвиговые волны
уносят заметную часть энергии (сравнимую с энергией отраженной P-волны),
то подавляющая часть ее в преломленных волнах уносится продольной волной.
Для получения ситуации, при которой возникает один критический угол при
падении продольной волны, достаточно "обернуть" рассмотренный выше
случай. Будем теперь считать, что падающая волна распространяется в
плавленом кварце (первое полупространство) и падает на границу раздела с
YAG (второе полупространство). Распределение энергии между отдельными
типами движения приведено на рис. 23. Характерной особенностью процесса
отражения и преломления в этом случае является практически полное
повторение картины рис. 22, сжатой в область докритического значения угла
9' = 44°. Здесь также в преломленных волнах доминирует продольная волна.
При уменьшении угла падения в область 0 < 0' продольная преломленная
волна становится нераспространяющейся. Область углов падения в
окрестности критического характеризуется резким ростом энергии, уносимой
отраженной продольной волной. Здесь
68
1,0
0,8
0.6
0,4
0,2
* !
& ) /
1У-' \а
А" / ф,
Рис. 23.
Рис. 24.
1.0
0,8
0,6
0,4
0,2
1\ К
L \
I
-А Л j Л
ф,\Х ФгА. 'f-S |Ф( \ А
0 20 40 60 90-у
Рис. 25.
также характерно резкое уменьшение количества энергии, переносимой во
вторую среду. Дальнейшее уменьшение углов падения приводит к росту
энергии, проникающей во вторую среду. Теперь эта энергия полностью
связана с распространяющейся сдвиговой волной.
Из сравнения рис. 22 и 23 следует, что появление критического угла
значительно качественно меняет картину распределения энергии по отдельным
типам движений, приводя к появлению ярко выраженных экстремумов. При этом
имеем существенное изменение величин энергий при незначительном изменении
