Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
простота характера движения здесь обусловлена специальным выбором типа
внешнего нагружения. Нагрузка схематически изображена на рис. 29 и
состоит из единственного компонента вектора усилий qg= Gf (х) exp (-mt).
Иные типы нагрузки qz (х) и qx (х), которые также приводят к двумерным
задачам, возбуждают значительно более сложные волновые поля.
Опуская временной множитель, граничные условия представим в этом случае в
виде
-i-тZy = f(x), -^-хгх = -i-a* = 0, г = 0. (1.1)
Здесь на функцию f (х) накладываются требования представимости интегралом
Фурье [13].
Граничные условия (1.1) можно полностью удовлетворить, принимая отличным
от нуля лишь один компонент вектора перемещений, т. е. их - иг = 0, иу
(х, г) Ф 0. Уравнения движения в этом случае сводятся к одному уравнению
д*ии m
~dip "di2" ^2Uy ~
а граничные условия (1.1) к следующему равенству:
* = о. (1.3)
Решение граничной задачи (1.2), (1.3) можно получить с помощью
преобразования Фурье. Если обозначить
6 1841
81
то в результате применения преобразования Фурье к уравнению
(1.2) и граничному условию (1.3) получаем обыкновенное дифференциальное
уравнение
Л2 "I
-*г--(?-$", = О (1.5)
с граничными условиями в форме
dun -
= /(c), г = о. (1.6)
Рис. 29. Отметим, что условие (1.3) не кон-
кретизирует полностью рассматриваемую ситуацию и должно быть дополнено
путем указания на направленность волнового процесса. В данном случае
дополнительные условия должны выражать то, что единственным источником
энергии является поверхностная нагрузка. Для того чтобы выполнить это
условие, искомое решение граничной задачи (1.2) и (1.3) необходимо
представить в виде
со
иу(х, г) = - ~ j Ш- ехр(фс - y2z)d?t (1.7)
--сю
где у2 = (?2 - ki)'\
Решение (1.7) носит формальный характер, связанный с неоднозначностью
выбора знака корня у2. При его выборе следует исходить из следующих
соображений.
Представление искомой функции (1.7) является, по существу, суперпозицией
частных решений уравнения (1.2) в виде плоских волн
и(у](х, z, t) = exp(t|x- y2z - Ш). (1.8)
В связи с тем что единственным источником энергии является поверхностная
нагрузка, эти волны должны быть убывающими по г (неоднородные волны) или
уходящими от границы (однородные волны). Из первого требования следует,
что при | ? |> k2 у2=\/Г а при 111 < у2= - i У k\ - |2. Здесь и далее
символом У~а при
а > 0 обозначено арифметическое значение квадратного корня.
После выбора знака в у2 решение (1.7) полностью определено. Входящий в
него интеграл можно вычислять обычными численными методами с
использованием асимптотики для больших значений 1 [130]. Наличие корневой
особенности [|| = Л2 в подынтегральном выражении следует учесть при
выборе метода численного интегрирования на конечном интервале [73].
Еще один подход к вычислению интеграла в (1.7) основывается на
использовании метода контурного интегрирования в комплекс-
82
ной плоскости. При этом иногда удается получить представление интеграла в
явном виде через специальные функции или получить другое, более удобное
для числовых расчетов, представление иц (х, г)
Целесообразность перехода к контурному интегрированию в комплексной
плоскости связана также с возможностью получить для иц (х, г) эффективные
асимптотические представления в дальнем поле, т. е. при больших значениях
R - Ух2 + г2. Получение таких оценок основывается на использовании
стандартной процедуры метода наибыстрейшего спуска.
Для перехода в (1.7) к контурному интегралу в плоскости ? = = | + tr)
необходимо прежде всего выбрать область однозначности двузначной функции
у2 = (С2-Ь$)1/г- Из изложенных выше требований вытекает, что подходящими
являются значения у2, для которых Rey2> 0. Кроме того, из условия
излучения для плоских волн (1.8) следует, что подходящей областью
изменения величины С для проведения контура является область, где Im у2 ^
0.
Выделение области однозначности функции у2 приводит к рассмотрению
комплексной плоскости ? как двулистной римановой поверхности. На каждом
из листов, которые соединяются по берегам разрезов, выходящих из точек
ветвления ? = ± k2, функция у2 однозначно определена. Выбор разрезов
довольно произволен, однако сформулированные выше требования к контуру
наиболее просто учесть при специальном их выборе. В частности, разрезы
целесообразно провести так, чтобы на листах римановой поверхности
выполнялись условия Re у2 >• 0 и Re у2 ^ 0 соответственно, т. е. провести
разрезы вдоль линий Re у2 = 0.
Для большей четкости и наглядности при проведении контура интегрирования
и разрезов в плоскости ? выработан стандартный прием - введение малого
затухания в среду и рассмотрение предельного перехода при его
исчезновении [97]. Законность такого предельного перехода составляет
содержание принципа предельного поглощения [85, 1151, с помощью которого
придается физический смысл решениям об установившихся колебаниях идеально
упругих тел.
Введение затухания приводит к тому, что волновые числа для гармонических
