Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
определяются видом приложенной нагрузки. Отметим также, что вид
полученных соотношений свидетельствует о том, что разложение ведется не
по параметру R, а по параметру k2R, т. е. речь идет об оценках на
расстояниях, существенно больших длины волны.
По способу получения формулы (1.18) видно, что она не может быть
использована для вычислений в предельном случае 0 = 90°, т. е. на границе
полупространства. Поскольку в этом случае z = 0, то функция q (?) не
имеет седловых точек и поведение интеграла по петле L полностью
определяется наличием точки ветвления ?в = - k2 в подынтегральной функции
Ф (?). В этом случае для проведения вычислений удобно непосредственно
использовать выражение
(1.13).
м
Во многих случаях асимптотические оценки этого интеграла непосредственно
можно получить из асимптотических разложений для функций Ханкеля.
§ 2. ЗАДАЧА ЛЭМБА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
И ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
Рассмотренный выше случай возбуждения SH-волн является наиболее простым в
рамках плоской динамической задачи об установившихся волновых движениях в
полупространстве. При возбуждении волн нормальными qz (х) к поверхности
полупространства и касательными qx (х) нагрузками в нем возникают как
продольные, так и сдвиговые волны. Наличие границы предопределяет
существование поверхностных волн Рэлея, т. е. физически картина волнового
движения становится достаточно сложной, что отражается в сложности
математических выражений для основных характеристик поля.
Математическая сложность задачи привела к тому, что сколько-нибудь
подробный количественный анализ ближнего поля, т. е. зоны вблизи места
приложения нагрузки, не выполнен до сих пор, за исключением расчета
некоторых интегральных характеристик [233]. Для дальнего поля получены
достаточно простые асимптотические выражения, которые наглядно отражают
структуру волнового поля.
Особенности волновых полей в задаче Лэмба описаны ниже при подробном
рассмотрении плоской задачи о действии на полупространство нормальной
нагрузки, неизменной вдоль оси 0у, а именно
пд ~ f (¦*), оп Хгх " 2 = 0,
(2.1)
/(х)==0 для |х|>а.
I
Как и в предыдущем параграфе, гармонический множитель exp (-mt)
опускается и предполагается, что функция f (х) представляется следующим
интегралом Фурье:
09 ОО
f(x>=a~ir i f(DexP(i&)dl, = | /(x)exp(- i&)dx. (2.2) -00 -00
Таким образом, необходимо найти решение уравнений (1.3) главы 2 для
скалярного потенциала ср и компоненты а" векторного потенциала,
удовлетворяющее граничным условиям (2.2) и условию, что приложенная
периодическая во времени нагрузка является единственным источником
энергии. Способ выражения последнего требования через компоненты вектора
смещений в данном случае следует обсудить подробнее после получения
формального решения краевой задачи (2.1).
87
Вводя в рассмотрение преобразованные по Фурье потенциалы Ф (|, г) и ау
(|, г), из исходных уравнений (1 .в) главы 2 для их определения получаем
Решениями, формально удовлетворяющими этим уравнениям, являются функции
Здесь ух и у2 - многозначные функции. Решением уравнений (2.3) будет
любая линейная комбинация выражений (2.4), соответствующих разным
значениям функций ух и у2. Эту неоднозначность в выборе решений можно
устранить путем согласования вида выражений для ф (х, г) и ау (х, г) с
физическими требованиями единственности источника энергии. Казалось бы,
что в данном случае достаточно потребовать, чтобы интеграл по поверхности
полуцилиндра большого радиуса R от нормальной к его поверхности
составляющей вектора Умова был положительным. Однако вследствие
существования в упругом теле двух типов волн можно предположить такую
ситуацию, когда указанное общее требование выполняется, однако в
продольных или поперечных волнах имеется приток энергии из бесконечности.
В связи с этим при конкретизации частных решений
(2.4) потребуем, чтобы энергия от нагруженного участка границы уносилась
на бесконечность каждым из двух возможных типов волн. Как показано в
следующей главе, такой подход к формулировке условий излучения, когда
накладываются ограничения на каждый возможный тип движения, особенно
важен в задаче о волноводном распространении упругих волн.
Соответствующие решениям (2.4) выражения для компонент вектора смещений
имеют вид
"*=?[- Т1фо (0 ехР ("?* - Yiz) - (|) exp (igx - y2z)] dg.
(2.3)
Ф (5, z) = Ф0 (g) exp (- угг), ад(Ъ, z) = A0 (I) exp (- y2z),
(2.4)
где
СХЭ
J [t|(D0 (t) exp {ilx - Y,z) - у2Л0 (g) exp {ilx - yaz)] dg,
-00
(2.6)
00
-00
88
Удовлетворение граничным условиям приводит к следующей системе для
плотностей Ф0(|) и Л0(|) интегральных представлений (2.6):
Фо (c) ^+ A (I) = 4г 1 (I),
1*+у1
-ф0 (c)%1 + Л (r).Цр- = о.
(2.7)
Ее решение имеет вид
(c)+Vf)Г(r) . , _ 2Г-у/(^) " g.
о * *' " яF(l) • ло(У-
*
где
Р(1) = (? + у1?-4ул?- (2-9)
Таким образом, выражения для компонент вектора перемещений приобретают
вид
7 2|2-4
"*(*, г)= J пР~Щ--------------exp(igx - ViZjdg -
09
exp(i^-va2)dg,
