Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(2.10)
, v f yi(42-4)fd) v" .
иг(х, z) - - j ---------------exp (ilx - y1z)d% +
-00
+ f -5^p-exP(^ -YjZ)^.
CO
Требование о раздельном удовлетворении условий излучения для каждого типа
волн предопределяет выбор значений многозначных функций у! и у2в
экспоненциальных выражениях, входящих в
(2.6). Каждая из этих экспонент может рассматриваться как плоская волна.
В связи с этим сформулированные выше условия излучения для достаточно
больших z будут, конечно, выполнены, если каждая такая волна является
либо неоднородной (убывающей экспоненциально по г), либо бегущей от
границы в бесконечность.
Из первого требования следует, что при I i | > ^ (| i |)> k2) значения
функции Yi (у2) должны быть положительными, т. е.
y2=Vt*-kl (2.11)
Второе требование следующим образом определяет допустимые значения уг при
11| < kh I = 1, 2;
Vl = _ iV ki-g, Ya = - i V A" - ia. (2.12)
89
Г После введения соотношений (2.11) и (2.12) подынтегральные выражения в
(2.10) полностью конкретизированы. Однако значения их и иг однозначно
определить не удается. Формально это связано с тем, что подынтегральные
функции в (2.10) имеют особенность в точках | = ±Ы, где kR - рэлеевский
корень уравнения F (?) = 0. При указанном выше выборе значений функций yj
и уъ, входящих в это уравнение, оно не имеет других корней. Однозначное
определение значений их и иг и, следовательно, всех характеристик
волнового поля сводится к указанию способа вычисления несобственных
интегралов в (2.10), соответствующего физическому содержанию задачи. Как
указал Лэмб [207], трактовка выражений (2 10) в смысле главного значения
приводит к результату, противоречащему физическому содержанию задачи.
Физически неоднозначность представления (2.10) связана с тем, что
сформулированные выше требования к решению не исключают возможности
добавить к компонентам смещений стоячую рэлеев-скую волну с произвольной
амплитудой Л, т. е.
Предыдущие ограничения или правила выбора значений многозначных функций
определили направленность потока энергии в уходящих от границы продольных
и сдвиговых волнах. Однако неоднородные по г и бегущие по х волны никаким
дополнительным требованиям не подчинены. Именно это является причиной
отмеченной неоднородности выражений (2 10). Суперпозиция неоднородных
продольных и сдвиговых волн вблизи границы полупространства образует
поверхностную волну Рэлея. Таким образом, для полной конкретизации задачи
необходимо потребовать, чтобы поток энергии в рэлеевской волне был
направлен от места приложения нагрузки.
Построение эффективного способа учета направленности рэлеевской волны
является еще одним дополнительным стимулом, наряду с упомянутыми в § 1
данной главы при рассмотрении
(2.13)
их - А \/ k% - k] exp (- У k% - kb) -
§ 3. ЗАДАЧА ЛЭМБА. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СМЕЩЕНИЙ КОНТУРНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
90
Рио. 31,
SH-волн, для перехода в выражениях (2.10) к контурному интегрированию. По
высказанным выше соображениям здесь также удобно временно ввести в среду
малое затухание. При этом как точки ветвления, так и полюса
подынтегральных функций в (2.10) смещаются с вещественной оси.
Схематическое изображение этих точек на комплексной плоскости ? = | + ir\
приведено на рис. 31. После введения затухания интегралы в (2.10)
становятся однозначными и, в принципе, могут быть найдены численно. Их
значения при отсутствии затухания можно получить при соответствующем
предельном переходе.
Рассматриваемые на комплексной плоскости ? подынтегральные выражения в
(2.10) имеют четыре точки ветвления: ± (&i + iki), ± (&2 + ik2), k2 > 0,
k2 > 0, | k\ j > k , I k\ I > k'2 и два полюса в точках ?д = ± (kR +
ikR). формирование области однозначности подынтегральной функции связано
с проведением разрезов в плоскости ? и образованием четырехлистной
римановой поверхности. При выполнении разрезов и выборе нужного листа
используются приемы и способы, описанные в§ 1 данной главы. На рис. 31
показан
И
нужный лист, на котором Re ух > О и Re у2 >0. Здесь также указаны области
постоянного знака мнимых частей функций yt и у2.
Для перехода от интеграла по вещественной оси к контурному интегралу
необходимо зафиксировать величину х. Как и ранее, выкладки проведем для
случая х > а. Тогда можно образовать контур MNPL%LKLXG с окружностями
большого радиуса в верхней полуплоскости. Используя теорему Коши и лемму
Жордана, приходим к равенству
00
1 еХР- yz)d?- 2шexp(itRx - yz) -
-00
- J ехр ш - уг) d? - С exp (ilx - уz) d?. (3'
и U
Следующий шаг в преобразовании выражений (3.1) заключается в рассмотрении
предельного перехода к случаю среды без затухания и получении формул,
позволяющих проводить вычисления при любых значениях х и г.
Устранение демпфирования в среде приводит к тому, что разрезы в плоскости
? деформируются и занимают положение, показанное на рис. 31 волнистыми
линиями. При этом разрез из точки | = kx состоит из отрезка вещественной
оси 0 < ? < ^ и положительной части мнимой оси ri > 0. Разрез из точки ?
