Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
и (5.2). Для сведения их к алгебраическим соотношениям необходимо
выполнение равенств, выражающих чакон Снеллиуса, а именно
kp\ cos 0 = kp\ cos 0! = kp2 cos 02 = ks\ cos V! - ksz cos y2 = q. (5.4)
Отсюда, очевидно, следует, что 0г = 0, т. е. для (в данном случае)
продольных волн угол падения равен углу отражения. Соотношение (5.4)
является, по сути, при заданном угле падения 0 системой уравнений для
определения углов отражения сдвиговой волны Yj и преломления 02 и у2,
прошедших во вторую среду продольной и сдвиговой волн. В общем случае
соотношения механических характеристик материалов возможны чисто мнимые
значения искомых углов. Соответствующие таким решениям волны являются
неоднородными, т. е. их амплитуды экспоненциально убывают G удалением от
поверхности раздела. В этом случае энергия не уносится в глубь второго
полупространства такой волной и соответствующий случай трактуется как
случай полного внутреннего отражения.
Из соотношений (5.4) для определения углов отражения и преломления
получаем следующие равенства:
01 = 0, cos Yi = -1- cos 0,
ср 1
<5-5)
Р 2 S 2
COS 0, = COS 0, COS Т., = COS 0.
cPl cPl
64
Таблица 3
Тип падающей волна в первом полупространстве
Продольная Сдвиговая
Срх > Ср2 Нет критических углов cSl > СР2 Один критический угол ^51 у'
= arccos - °р\
СР2 > СР1 > > CS2 Один критический угол Ср| 0е = arccos Р2 СР2 >
CS1 > > CS2 Два критических угла csi у' = arccos -- Ср, ^51 V* = arccos --
Р2
Ср2 > С§2> > Cpl Два критических угла _ Cpi 0'" arccos СР2 0* = arccos
Ср| CS2 СР2 > CS2 > >CS1 Три критических угла . Cci V = arccos 01 Cpi "
^51 V = arccos CP2 y"= arccos C,S1 CS2
Аналогичные соотношения для углов отражения и преломления в случае
падения под углом у сдвиговой SV-волны (рис. 21, б) имеют вид
Ч
ъ = У, COS 0Х = cos у,
CS1
(5.6)
Г. °Р2 CS2
cos 02 = cos у, cos у2 = cos у.
CS1 CS1
Возможные комбинации упругих характеристик полупространств с точки зрения
существования критических углов (углов падения 0 или у, при которых
косинус какого-либо угла отражения или преломления становится равным
единице) удобно представить так, как показано в табл. 3 [157].
Граничные условия (5.2) для выбранного вида потенциалов приводят к
следующей системе четырех уравнений:
иг: МФ0 - Фх) - Ах = г2Ф2 - Л2,
- Gi [(Ф" + Фх) (S? -1)4- 2MJ = - G2 [Ф2 (si - 1) - 2s*4t], их: Ф0 -
j- Фх - %АХ = Ф2 -j- s%A2, (5.7)
G, [2г, (Фх - Ф0) -f (1 - s?) А,} = G2 [- 2г2Ф2 4- (1 - si) Аг].
5 <841 6S
Для случая падения SV-волны, задаваемой потенциалом ау' = - Л0ехр (х
cos у + 2 sin у)|, система граничных условий при-
водит к соотношениям
иг'. - г ,Ф, Ai Л0 = г 2Ф2 - А2,
ог: - G, [(sf - 1) Ф, + 2s, (Л, - Л0)] = - G2 [(si - 1) Ф2 - 2sAl,
их: Ф, - s, (Аг - А0) = Ф2 -f s2A2, (5.8)
т2*: G, [2л,Ф, + (1 - S?) (Л, + Л0)] = G2 [- 2г2Ф2 + (1 - s% Л2].
При записи систем (5.7) и (5.8) введены следующие обозначения:
ri = tg 0Х; s, = tgYi; Г2 = tg 02; s2 = tgY2. (5.9)
Для случая скользящего контакта между полупространствами (условия (5.1))
в системах (5.7) и (5.8) нужно исключить третье уравнение, а из
четвертого образовать два соотношения, потребовав, чтобы правая и левая
части в нем были равны нулю.
Несмотря на возможность в принципе довести рассматриваемые задачи до
конца в общем виде, окончательные выражения для искомых величин настолько
громоздкие, что провести аналитический анализ различных ситуаций довольно
затруднительно. Сколь-нибудь полный анализ процесса отражения и
преломления можно выполнить численно. В таких случаях выбор исходных
данных для проведения расчетов - ответственный вопрос, поскольку в рамках
двух-трех расчетных ситуаций необходимо показать все возможные
характерные особенности процесса отражения и преломления волн.
Сложность рассматриваемой физической картины обусловливается большим
числом параметров, которые характеризуют каждую конкретную ситуацию.
Поскольку каждое полупространство характеризуется тремя параметрами (v,
G, р), то анализируемая картина зависит от шести параметров. Если
говорить более строго, то решение системы (5.7) или (5.8) однозначно
определяется заданием четырех параметров - трех отношений скоростей в
(5.5) или (5.6) и от-
" Go
ношением жесткостей g = -рА.
Один из возможных вариантов решения связан с выбором в качестве
материалов полупространств иттриево-алюминиевого граната (УAG) и
плавленого кварца [1571 Свойства этих материалов приведены в табл. 2. При
этом, с одной стороны, удается охватить все возможные ситуации по числу
критических углов, а с другой - дополнить графики кинематических
характеристик процесса [157} данными, раскрывающими энергетические
аспекты процесса отражения и преломления.
При рассмотрении энергетических характеристик наибольший интерес, как и в
случае свободного полупространства, представляет анализ нормальной к
границе раздела составляющей вектора по-' тока мощности Рг. Приведенные
для случая свободного полупро-
ы
странства соотношения позволяют легко записать величины средних за период
