Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
отражении продольных или сдвиговых волн в случаях проявления полного
превращения мод. При этом волновое поле всегда представляется только
двумя потенциалами - одним для падающей и одним для отраженной волн.
Поскольку такие решения представляют распространяющиеся на бесконечность
волны, то они
55
не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к поверхностным волнам.
В случае комплексных корней уравнения (3.6) характер волнового движения,
определяемого решениями (3.2), более сложен. Даже если ограничиться
значениями корней с величиной Im с < О (экспоненциально убывающие по
времени выражения в (3.2)), то
и тогда вещественные части kp sh 0 и ks sh у будут иметь разные знаки
[189]. Следовательно, соответствующие (3.2) выражения для смещений
являются суперпозицией экспоненциально убывающих и возрастающих с
увеличением г слагаемых, что также противоречит предположениям о
локализации движения вблизи границы полупространства.
Рассмотрение поверхностных волн для вязко-упругого полупространства
приводит к получению всех комплексных корней уравнения (3.6). Однако лишь
один из них можно связать с физически реализуемой ситуацией [169, 170].
Из проведенного анализа следует, что, несмотря на существование
нескольких корней уравнения (3.6) и соответственно нескольких решений в
форме (3.2), обеспечивающих нулевые значения напряжений на границе,
решение в виде поверхностной волны единственное и соответствует
вещественному корню cr < сь.
С ростом коэффициента Пуассона v от v = 0 (cr/cs = 0,874) до v = 0,5
(cr/cs= 0,955) значение cr/cs меняется почти по линейному закону. Для
приближенного вычисления cr/cs удобно пользоваться аппроксимацией [20]
Сравнение значений, определяемых по формуле (3.7), с точным решением
уравнения R (с) = 0 показывает, что погрешность аппроксимации не
превышает 0,5%.
Обращаясь к анализу кинематики движений в поверхностной волне Рэлея,
прежде всего приведем выражения для смещений частиц в волне:
Естественно, что смещения определены с точностью до произвольной
постоянной D.
Выражения (3.8) описывают волны, экспоненциально убывающие с глубиной.
Вид показателей экспонент в_(3.8) позволяет за-
иг = Dk
ux=D
(3.8)
56
и
л
77Т777777'.г77777777777~%
О (I 9
Z
Рис. 16.
Рис. 17.
ключить, что короткие волны (q - велико) проникают на меньшую глубину,
чем длинные. Это обстоятельство сближает явление распространения
поверхностных волн с известным явлением скин-эффекта в электродинамике
[125].
Из соотношения (3.8) видно, что частицы в волне Рэлея движутся по
эллиптическим орбитам. Для величины v=0,25 отношение меньшей полуоси
эллипса (их) к большей (иг) при 2=0 приблизительно составляет 0,667.
Изменение коэффициента Пуассона v от 0 до 0,5 приводит к изменению этого
отношения от 0,634 до
На рис. 16 представлены величины вертикальных и горизонтальных смещений,
отнесенные к значению иг на поверхности, v = = 0,25. Вертикальное
смещение достигает максимума на расстоянии 0,08Я от поверхности, а затем
плавно убывает, не меняя знака. Горизонтальное смещение становится равным
нулю при г= -0,19Л,, а затем изменяет направление.
На рис. 17 представлены эллиптические траектории движения частиц. Для 12)
< 0,19Л, движение частиц происходит против часовой стрелки, а при |г| >
0,19Л, - по часовой стрелке. Такая кинематика частиц в поверхностной
упругой волне существенно отличает ее от гравитационных поверхностных
волн в несжимаемой жидкости [256].
Энергетический анализ волны Рэлея показывает, что средняя за период
нормальная к поверхности составляющая потока мощности Рг тождественно
равна нулю. Средняя за период величина потока, мощности вдоль границы Рх
положительна и задается выражением
Рх = D2G(oq {a exp (2q1l1z) + b ехр (2ql2z) - с exp [q (/, + /2) г]},
(3.9)
где а, Ь, с - числовые коэффициенты. Для v= 0,25 а = 1,47; b = = 2,65; с
= 3,44. Отношение среднего потока мощности Рх для
0,841.
S7
частиц с вращением против часовой стрелки (-0,19 X, г <!0) к общему
потоку мощности в полупространстве составляет 38% Практически вся
энергия, переносимая поверхностной волной, сосредоточена в слое толщиной
к.
§ 4. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ SH-ВОЛН НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
Некоторые новые данные о роли границы в волновых процессах в упругих
телах раскрываются при анализе отражения и преломления плоских волн на
поверхности раздела двух полупространств из разных материалов. Анализ
таких процессов естественно начать с простейшего случая SH-волн.
Рассмотрим два упругих полупространства с общей границей, совпадающей с
плоскостью 2=0 (рис. 18) Волновое движение считаем плоским, т. е. все его
характеристики не зависят от координаты у.
Полупространства характеризуются упругими постоянными - модулями сдвига
G1 и G2, коэффициентами Пуассона и v2 и плотностями pj и р2. Скорости
продольных и поперечных волн в материалах обозначим соответственно сяь
срг, csi, Cs2-
Для полноты постановки задачи необходимо указать математическое описание
