Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
световой волны, падающей на границу раздела под углом Брюстера [12].
Из соотношения (4.11) для компонент вектора Pt2> видно, что во втором
полупространстве линии потока мощности совпадают с направлением нормали к
фронту преломленной волны, т. е. Рг2)/Р*2) = = s.2. В первом
полупространстве за счет суперпозиций движений в падающей и отраженной
волнах линии потока мощности образуют довольно причудливую картину. Ее
подробный анализ для световых волн содержится в работах Эйхенвальда
[150].
При указанном выборе материалов во втором полупространстве всегда
существует волна, уносящая энергию от границы. Если же
61
рассмотреть случай падения на плоскость раздела волны, распространяющейся
в плавленом кварце, то уносящая энергию волна в полупространстве YAG
существует лишь при определенных значе нияху (рис. 20). На рис. 20 кривая
1 описывает изменение с углом падения среднего потока мощности в
отраженной волне, а кривая 2 - в преломленной. Видно, что для
рассматриваемой пары материалов неоднородная преломленная волна
наблюдается в широком диапазоне углов у < 40°. Характерным при этом
является всплеск прозрачности при углах у> близких к критическому.
В случае полного внутреннего отражения (cosy > --1 выра-
\ cs 2 /
жения для потоков мощности имеют вид
/><•) = -Sg(r) [Ul sin2 а + I t/x I2 sin2 (P + фх)],
Рг1 = 4" gi<7wsi VA sin2 a - | t/x |2 sin2 $ + <px)],
(4.13)
P{x. = 4" G2qu) IU212 exp (- 21 s21 z) sin2 elf P<2) = -L | s211U212 exp
(- 21 s21 z) sin 2ex,
где (/, = | L/x | exp (i<px); U2 = | Ut | exp (i<p2); ex = <7* - ю/ + ф2-
Учитывая, что Pf'eO, закон сохранения энергии записываем в виде = 0 или
t/o = I С/х I2, (4.14)
что проверяется непосредственно.
Ситуация, когда в среднем за период энергия не проникает во второе
полупространство, была названа "полным внутренним отражением". Однако
мгновенная составляющая потока мощности во второе полупространство
отлична от нуля и периодически с периодом Т = я/со изменяет свое
направление. В один и тот же момент времени в различных точках границы
энергия входит во вторую среду и выходит из нее Чем дальше от границы,
тем менее интенсивны колебания частиц второй среды. Отождествляя термины
"луч" и "вектор Умова Р", можно сказать, что в этом случае луч, попадая
во вторую среду, изгибается и возвращается в первую. Для оптического
случая явление полного внутреннего отражения исследовалось
экспериментально в тонких опытах Мандельштама [87] и Вуда [27]. Обзор
современного состояния вопроса приведен в работе [215].
В заключение отметим, что предельные случаи у =0 и cosy - csi
=s= - нельзя полностью рассматривать как частные случаи
CS2
62
приведенных решений. Здесь мы имеем дело с лучами, ограниченными с одной
стороны плоскостью 2 = 0 (s2 = 0). Такие случаи должны рассматриваться
особо как дифракционные явления [87].
§ 5. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ И СДВИГОВЫХ ВОЛН НА ГРАНИЦЕ
РАЗДЕЛА ДВУХ УПРУГИХ СРЕД
Продолжая рассмотрение задачи о взаимодействии плоских упругих волн на
границе раздела двух полупространств, перейдем к наиболее сложному в
рамках такой постановки случаю - отражению и преломлению плоских
продольных (Р) и сдвиговых (SV) волн.
Общая формулировка задачи об отражении и преломлении плоских волн на
границе раздела двух сред приведена в § 4 данной главы. Здесь мы
рассмотрим двумерные волновые движения Компоненты вектора перемещений в
направлении оси 0у тождественно равны нулю, а все величины по-прежнему не
зависят от координаты у. При этом условия сопряжения на границе принимают
вид
= "4* = 0, 2=0
для гладкого контакта и
"<*) = "<2>, "<!> = иТ,
О^-О" T<i> = T" 2=0
для полного сцепления.
Пусть в нижнем полупространстве (рис. 21, а) на границу раздела двух сред
падает волна расширения (P-волна), которая описывается потенциалом ф<°>=.
Ф0 exp \ikPl (х cosO -f г sin 0)].
В соответствии с возможностью существования двух типов волн предполагаем,
что отраженное и преломленное волновое движение представляет собой
суперпозицию продольных и поперечных волн, которые описываются
потенциалами ср и а Вследствие двумернос-ти задачи из трех компонентов
вектора а отличной от нуля будет только компонента ау. В соответствии с
принятыми на рис. 21, а обозначениями можно записать
срО) = ф, ехр \ikpi (*cos 0Х - г sin Oj)],
аУ' = Л, exp [iks\ (я cos yi -2 sin уО],
Ф<2> = Ф2 exp [ikp (x cos 02 -f 2 sin 02)], а{у] = Агexp \iks2(xcosy2 +
zsin y2)].
(5.3)
где kP] =-^-; kP2 = -?-- = ks:
Cp, Vp2 CS1
63
Рис. 21.
В принятой записи выражений (5.3) учитывается направленность волнового
процесса, задание которой необходимо для полной конкретизации задачи.
Соответствующие (5.3) компоненты вектора перемещений определяются
равенствами (1.4). На основе соотношений (1.5) можно записать выражения
для напряжений, исходя из величин (5.3). Как и ранее, использование
соответствующих выражений для смещений и напряжений позволяет записать в
явном виде соотношения, вытекающие из требований условий сопряжения (5.1)
