Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
потоков, переносимых отдельными типами волн. Отметим, что такое положение
справедливо и для мгновенных значений Рг. Если в выражение (2.2)
подставить значения Ф, и Л, из (1.9), то находим Рг = 0. Это равенство в
данном случае выражает закон сохранения энергии - приносимая за период к
границе энергия падающей волны равна энергии, уносимой отраженными
волнами.
Выражение для Рх имеет вид
Рх = -J- (о<78 {(1 + s?) (Ф^ + Ф? + Л?) + 2Ф0Ф, (1 + s? - 4гЬ х
50
X cos 2qrxz - [Sj (3 + si - 2ri) + rx (3 - s2)| cos q (sx -f rx) z -
- Ф^! ["1 (3 + si - 2r\) - rx (3 - s?)l cos q (sl - rx) 2}. (2.3)
Видно, что принцип суперпозиции при рассмотрении потока мощности вдоль
поверхности полупространства не применим. Для рассматриваемой задачи
наблюдается направленный поток мощности вдоль свободной поверхности,
причем плотность потока зависит от величины г.
В случае падения SV-волны, описываемом соотношениями (1.11) и (1.13),
необходимо учесть, что при у < у' величины гх, Ф,, Л, становятся
комплексными. Окончательно выражение для Рг имеет вид
Рг = -у Щ* (1 + "?) - Ml I2 *1 "
- IФ1 1а -+2 ~ " ехР №~ М г<] • (2-4)
Для докритического падения (у > у') число г\ = г, вещественное, поэтому
*
Рг = \ щ* (1 + si) (Ahi - i4is, - Фirx). (2.5)
При закритическом падении (у < у') из (1.13) находим, что г\ = -гх и,
следовательно,
Pz - 'Y' (1 +si) Мо - I Ах |2) (2.6)
Подстановка в формулы (2.5) и (2.6) величин и Л, из (1.12) приводит к
тождеству Рг = 0, также выражающему закон сохране-ния энергии.
Общим для обоих случаев падения Р- и SV-волн является справедливость
принципа суперпозиции средних потоков мощности Рг, уносимых отдельными
типами движений. Именно это делает физически обоснованным раздельное
вычисление данной величины в каждой волне g целью наглядного изображения
энергетических соотношений. Такие наглядные представления дают рис. 13 и
14, где показана относительная величина энергии, уносимой отраженной P-
волной в случае падения P-волны (рис. 13, а) и SV-волны (рис. 14, а) и
SV-волной для падения P-волны (рис. 13, б) и SV-волны (рис. 14, б).
Кривые 1-3 на рис. 13 и 14 соответствуют значениям коэффициента Пуассона
v, равным 0,15; 0,25 и 0,40
Как видно из рис. 13 и 14, распределение энергии между отраженными
волнами обнаруживает сильную зависимость его как от угла падения, так и
от коэффициента Пуассона. В целом сравнение данных на рис. 13 и 14
свидетельствует об отсутствии качественных различий в процессах отражения
продольных и поперечных волн при докритических углах падения.
4*
51
.1.0
0,8
0,6
"4
0.2
\ \
л 3 /
А V .у
W А \ Г
\ А/ / >
л Л
/1? \j
1" 1
1 ' / ''5 \
1 \
О 20 40 60 80 0 20 40 SO 80 904
а 6
Рис. 13.
20
30
4О 90-Т
Рис. 14.
Приведенные кривые интересны также с точки зрения энергетического анализа
отражения в условиях полного преобразования мод. Как для Р-, так и для
SV-волн при v < v* имеем два значения угла падения (см. рис. 10, 12), при
которых наблюдается полное преобразование мод. Для случаев относительно
близких значений этих углов (v близко к v*), как видно из кривых 2 на
рис. 13 и 14 (v = 0,25), существует достаточно широкий диапазон углов
падения, для которых энергия, приносимая падающей волной одного типа,
практически полностью уносится волной другого типа. Для малых значений v
наблюдается сужение диапазонов углов, для которых полное превращение мод
энергетически четко выражено (на рис. 13, 14 кривые 1). При этом для
меньшего по величине угла падения интервал углов, в которых заметно
явление преобразования мод, чрезвычайно узок.
52
§ 3. ПОВЕРХНОСТНАЯ ВОЛНА РЭЛЕЯ
Из результатов предыдущего параграфа можно заключить, что отражение
упругих волн от свободной границы является довольно сложным процессом,
включающим превращение одного типа движения в другой. Длч сдвиговых волн
в определенном диапазоне углов падения наблюдается возбуждение
локализованных вблизи границы движений в виде нераспространяющихся в
глубь полу- < пространства неоднородных волн.
Важный вопрос о возможности существования локализованных вблизи
поверхности гармонических волн впервые был поставлен и решен Рэлеем в
1885 г. [256]. Он установил, что вдоль плоской свободной границы
полубесконечного упругого тела может распространяться гармоническая
волна. Амплитуды компонент вектора перемещений в этой волне
экспоненциально убывают с увеличением расстояния в глубь
полупространства. Такая волна называется поверхностной волной Рэлея.
Скорость распространения поверхностной волны оказалась несколько ниже
скорости сдвиговых волн.
После выхода работы Рэлея теория упругих поверхностных волн была
значительно обобщена применительно как к анизотропной упругой среде, так
и к пьезоэлектрической среде, в которой механическое движение
сопровождается электрическим полем внутри и вне среды. Взаимодействие
электромагнитных и механических полей обусловливает существование нового
типа сопряженных поверхностных волн, получивших название волн Гуляева -
