Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
1 ° 4s,r, -h (sf - 1)3 ss 01
где гi - tg 0г; Sj= tgyx.
На рис. 9, б представлена лучевая картина процесса отражения сдвиговых
волн от границы полупространства. Подчеркнем, что такое изображение
процесса имеет смысл лишь до тех пор, пока при изменении угла у угол
0! остается вещественным. При дальнейшем
уменьшении угла у процесс отражения сдвиговых волн уже невоз-
можно истолковать в рамках лучевых представлений. Количественный анализ
процесса отражения можно выполнить на основе выражений (1.13), которые,
вообще говоря, применимы при любом значении у. Однако при у меньших у',
где у' определяется из равен-cs
ства cos у = -, величина гх становится чисто мнимои и вычисля-
ср
ется по формуле
-1-• (Ы4)
cos2 у х '
Исходя из этой формулы можно вычислить величины Ах и Фх в (1.13) при
любых углах падения у Естественно, что для закрити-ческих углов падения
физически оправданное решение получается после умножения выражений (1.11)
на exp (-mt) и выделения вещественной или мнимой части.
Представление о характере изменения величин --¦ (штрихо-
Ф
вая линия) и (сплошная линия) можно получить на основе
приведенных на рис. 11 кривых. Поведение этих кривых зависит от угла
падения у. При построении принималось v = 0,15
4 - '4
Как и в ранее рассмотренном случае, здесь имеем полное преобразование
падающей сдвиговой волны в продольную при определенных углах падения. На
рис. 11 эти углы определяются по нуле-
Ai
вым значениям величины
Ао
48
Интересной особенностью коэффициента отражения продольной волны является
резкий рост его величины в окрестности критического угла падения.
Максимальным он будет при значении угла у, близком к углу полного
превращения мод.
Проявление полного превращения мод, ктк и в случае падения продольной
волны, существенно зависит от коэффициента Пуассона. В связи с этим на
рис. 12 приведены данные об изменении величины коэффициента отражения
сдвиговых волн от угла падения для различных значений коэффициента
Пуассона. Вычисления выполнены лишь для углов, меньших критических, и
поэтому рис. 12 характеризует также зависимость критического угла от v.
Как и на рис. 10, здесь достаточно четко обнаруживается отсутствие
полного превращения мод для значений v, больших некоторого v*. Величина
v* устанавливается при анализе того же уравнения (1.10) и, следовательно,
равна 0,2637. Однако углы падения, при которых происходит полное
превращение сдвиговых или продольных волн, будут, конечно, различными.
Явление полного превращения мод при отражении от свободной поверхности
наблюдалось экспериментально [100, 187]. Оно используется в работе
специального прибора - ультразвукового гониометра [253].
Кроме случая полного превращения одного типа движения в другой, в
процессе отражения от свободной границы не меньший интерес представляет
случай полного сохранения типа движения. Как можно установить из формул
(1.9) и (1.13), для коэффициентов отражения единственным (за исключением
нормального падения) таким случаем является случай 1. В случае падения Р-
волны величина sx не может быть равна единице. При падении SV-волны это
равенство имеет место при у = 45°.
4 1841
49
Такое значение угла падения является закритическим, т. е. лежит в той
области значений у, где при отражении SV-волны возбуждается неоднородная
продольная волна. Для у = 45° имеем, однако, А1= А0 и Ф, = 0, т. е
продольная волна не возбуждается. Этот случай представляет большой
интерес в связи с анализом специальных форм колебаний в упругих телах
конечных размеров.
§ 2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОЦЕССА ОТРАЖЕНИЯ
ОТ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрение динамических процессов в упругих телах, в частности процесса
отражения от свободной поверхности, было бы неполным без анализа его
энергетических характеристик Предметом анализа являются количественные
соотношения, характеризующие распределение потока энергии в падающей
волне между отраженными волнами. В рассматриваемом здесь двумерном случае
гармонических волн средние за период компоненты вектора плотности потока
мощности определяются соотношениями (5.7) гл. 1:
10} / * , " * ,
Рх -----7- (OxUx - охих + Т хгиг - тхгиг),
(2.1)
n to / • * * * ч
Рг ------4~ (°2W* - ОгЦг + TX2UX - TXZUX).
Довольно громоздкие вычисления для обоих типов падающих волн проводятся
по одинаковой схеме - согласно соотношениям (1.4) и (1 5) находятся
компоненты вектора смещений и тензора напряжений, а затем по формулам
(2.1) и искомые величины Рх и Рг.
Рассмотрим вначале случай падения на свободную поверхность
полупространства P-волны. Выражения для потенциалов <р и ау задаются
формулами (1.1) и (1.2). Учитывая вещественность величин гъ sx, Ф0, Фх,
Лх для любых углов 0, окончательно получаем
Рг = -J- "><f (1 + s?) (Фол, - Ф?л, - A\sx). (2.2)
Члены с перекрестными произведениями Ф" Ф,, Ф"Л,, Ф,Л, здесь отсутствуют
Это свидетельствует о том, что для среднего за период потока мощности в
направлении нормали к поверхности имеет место суперпозиция средних
