Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Блюсгейна [52, 164].
Все расширяющиеся возможности практического использования явления
локализации волновых движений вблизи поверхности упругого тела
обусловливают непрекращающийся поток публикаций по этому вопросу.
Примечательно здесь то, что накопленные к настоящему времени данные
хорошо систематизированы в виде обширных обзоров, посвященных различным
аспектам теории и применения поверхностных волн.
Подробная классификация типов поверхностных волн в упругом теле, а также
вблизи границы раздела тел с разными свойствами содержится в работах 118,
246, 283]. Анализ поверхностных волн в анизотропных средах проведен в
работе [139]. Практические потребности сделали актуальным вопрос о
свойствах поверхностных волн в полупространстве, покрытом тонким упругим
слоем. Выполненные в связи с этим исследования обобщены в обзоре [176].
Значи тельное внимание поверхностным волнам уделяется также в
сейсмологических исследованиях [240].
Практическое использование поверхностных волн ставит задачу их
эффективного возбуждения и обнаружения [20, 55]. В последнее время
поверхностные волны широко используются при создании устройств обработки
сигналов в системах связи [62, 111, 314, 132]. Важно, что создание такого
типа устройств основано не только на' возможности существования
поверхностных волн, но и на тщательном анализе количественных
характеристик процесса их распростра
S3
нения в каждом конкретном случае. Это обстоятельство и объясняет большое
число публикаций, посвященных решению конкретных задач [111, 132].
На фоне чрезвычайно широкого практического использования поверхностных
волн определенный исторический интерес представляет следующее
предсказание Рэлея: "...не исключена возможность, что рассматриваемые
здесь поверхностные волны играют важную роль при землетрясениях и при
ударе упругих тел" [256,
К построению решений уравнений движения, описывающих поверхностную волну
Рэлея, можно подходить различными путями. Можно, следуя работе [256],
искать некоторые решения волновых уравнений (1.3), которые описывают
бегущую вдоль свободной поверхности волну с убывающей вглубь амплитудой.
Такой подход описывается, например, в работах [68, 104].
Еще один путь построения таких решений [90, 157] связан о использованием
общих решений задачи об отражении (см. § 1 данной главы) и поиском на
основе их анализа определенной резонансной ситуации. Такая ситуация
характеризуется наличием неоднородных "отраженных" продольных и сдвиговых
волн при отсутствии падающей SV волны. Разумеется, это невозможно при
действительном угле падения у. Формальная возможность существования таких
волн определяется обращением в нуль величины 4s3r, + (s? - I)2 при
некоторых чисто мнимых углах 0!= т'0 и у, = ту. При этом
Вводя в рассмотрение фазовую скорость с бегущих вдоль оси Ох воли, по
формуле
Из последних соотношений следует, что выражения (3.2) будут
характеризовать бегущую вдоль оси Ох волиу с убывающей амплитудой ЛИШЬ
При С < Сб.
с. 10
q - kp ch 0 =я ks ch у
(3.1)
и согласно (1.11)
Ф = Ф3 exp (kp г sh 0) exp [i (qx - (?tf)l> ay = Аг exp (ks z sh y) exp
[j (qx - to/)|.
(3.2)
(3.3)
находим
rx = i th 0 = i
(3.4)
kPshO = q j/~l -feshy = ? j/"l-(^-)2.
54
Из изложенного выше следует возможность описания волновыми потенциалами ф
и ау неоднородных по 2 волн, оставляющих в сумме (при условии, чтоФ^Л^
4sx (s?-l)/[4s1r1- - (sf-1)21) свободной от напряжений границу
полупространства. Это решение приобретает физический смысл, если удается
доказать, что выражение 45^!+ (s? - I)2 обращается в нуль для некоторого
с = cr, иными словами, что функция
R(c) -
(^)I<3-5'
обращается в нуль при с = cr < cs-
На рис. 15 схематически изображен график функции R (с) в интервале (0,
cs). Видно, что существует единственный корень с = = cr, соответствующий
фазовой скорости волны Рэлея. Строгое доказательство существования и
единственности на указанном интервале корня содержится в работах [5,
116].
Возводя функцию (3.5) в квадрат и обозначая т] = b =
cs
= -2- < 1. получаем следующее уравнение для определения rj:
т] [т]3 - 8т]2 + (24 - 16Ь) т| - 16 (1 -&)] = 0. (3.6)
Отметим, что величина cr не зависит от частоты со и длины волны
п 2л
Я. = -, и, следовательно, для рэлеевских волн, распространяющихся вдоль
плоской границы, дисперсия отсутствует.
Известно [182], что уравнение (3.6) при v < v* = 0,2637 кроме
тривиального корня rj = 0 имеет три действительных корня, а при v > v*-
один действительный и два комплексно сопряженных Вообще говоря, каждому
корню уравнения (3.6) соответствует пара выражений (3.2) для потенциалов
продольных и сдвиговых волн, которые удовлетворяют волновым уравнениям и
в сумме да ют такие выражения для перемещений, которые оставляют границу
свободной от напряжений.
Для вещественных, отличных от рэлеевского, корней уравнения (3.6) решения
в виде (3.2), по сути, рассматривались в § 1 данной главы. Они
представляют собой частные случаи общих решений (1.2), и (1.10) задач об
