Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
,,(0) (№ - 2 sin2 0) cos 0 _ (0) У | № sin2 0-1| sin 20
оч
Ur ~ F (h sin 0) ' "е ~ | F (k2 sin 0) | *
( '
В выражении (5.3) для характеристики направленности окружных смещений,
связанных с волной сдвига, содержатся модули некоторых величин. Сами эти
величины в зависимости от угла 0 могут быть как вещественными, так и
комплексными. В выражении для и%\ напротив, все величины вещественны для
любых 0. Такое чисто формальное различие интересно и с точки зрения
физики. Оно свидетельствует о различии в поведении смещений в продольных
и сдвиговых волнах. Вещественность всех величин в и$ означает, что на
поверхности R = const при распространении гармонической волны от
источника максимальное радиальное смещение достигается в один и тот же
для всех точек момент времени. Напротив, в сдвиговой волне максимальное
значение окружного смещения достигается в разных точках поверхности в
разное время.
100
Рис. 32.
В случае равномерно распределенной по некоторой площадке нагрузки
характеристики направленности изменяются в соответствии с формулами
(4.9). При этом их удобно представить в виде
sin (ft,a sin 0) (0) _ sin (кга sin 6) (0)
UR k^sinQ UR' Ue k2a sine
Такая запись является, по сути, выражением часто используемой в
акустике [148] теоремы умножения диаграмм направленности.
Большой объем вычислений характеристик направленности представлен в
работе [233], где рассмотрены случаи как нормальной, так и касательной
сосредоточенной нагрузки (плоская задача).
При непосредственной подстановке асимптотических выражений
(4.6) в соотношение закона Гука получаем, что при болынйх значениях R
радиальное напряжение oR пропорционально величине uR, а касательное
напряжение тге пропорционально щ. Поэтому полярные диаграммы для смещений
являются одновременно полярными диаграммами для напряжений.
На рис. 32 сплошными линиями показано угловое распределение величин ur]
(левый квадрант) и ы(о0) (правый квадрант) для материала со значением v =
0,25 (k2 = 3). Для величины и%] характерно довольно плавное изменение с
увеличением угла, которое хорошо аппроксимируется функцией cos 0.
Характер углового распределения величины we' определяется наличием
выражения j/" | sin2 0---
в числителе (5.2). Подкоренное выражение здесь обращается в нуль для угла
0О, при котором sin 0О = Интересно, что этот угол
совпадает с критическим углом в случае падения SV-волны на границу
полупространства (§ 1 главы 2). В связи с этим на диаграмме для 40)
имеется провал при 0О да 35°.
Наличие площадки нагружения приводит к изменению диаграммы направленности
по сравнению со случаем сосредоточенной силы.
101
Для сравнительно малых площадок нагружения (kta < 2) наблюдается,
естественно, уменьшение направленности. Случай kxa= 1,5 показан на рис.
32 штриховыми линиями. Для больших по сравнению с длиной волны площадок
(&ха> 2) диаграммы направленности становятся "изрезанными" в связи с
наличием знакопеременных множителей в (5.3). На рис. 32 один из таких
случаев (kxa - 4) показан пунктирными линиями.
Приведенные результаты основаны на использовании формул
(4.6), которые не пригодны для вычисления смещений в точках граничной
поверхности даже при больших значениях я. В этом случае (z = 0, 0 = 90°)
выражения для смещений в дальнем поле задаются формулами (4.7) Из них
видно, что на большом расстоянии от места приложения нагрузки основной
вклад в деформирование границы полупространства дает поверхностная волна
Рэлея. Для х а смещения границы описываются соотношениями
, пч 2k%-t4-2Vk2R-k2.Vk2R-kl
Их (X, 0) Я" - 2/ (kR) kR-----------WuT\ ехР ('&?*)>
R (5.5)
Уk2 -k2
Us (X, 0)" 2if (kR) k\ ¦ P,R(kR) ' exp (ikRx).
Вывод о доминирующем значении поверхностных волн, естественно,
основывается на предположении о том, что f (kR) Ф 0. Отметим, что как
выражения для смещений на поверхности (4.7), так и формулы (4.6) для
смещений во внутренних точках полупространства свидетельствуют о
возможности усилить или ослабить тот или иной тип движения за счет выбора
распределения нагрузки по поверхности. В частности, при равномерной
нагрузке по участку шириной 2а имеем / (Е) = 2/0 S1!^fl. и,
следовательно, легко указать
такую ширину нагружения, когда рэлеевская волна не возбуждается Для этого
должно выполняться равенство sin kRa =0. Возможность управлять
возбуждением поверхностных волн за счет выбора характера нагружения имеет
широкое практическое применение в акустоэлектронике [20, 55] и геофизике
[232, 286].
В практических приложениях более важной является не кинематика движения,
а его энергетика. При этом можно интересоваться как оценкой эффективности
возбуждения волнового поля в целом, т. е. отношением средней за период
излучаемой мощности к мгновенной мощности источника, создающего заданное
периодическое во времени распределение напряжений на границе, так и
эффективностью возбуждения того или иного типа движения в упругом теле,
т. е. поверхностных, сдвиговых или продольных волн. По первому критерию
