Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
от внешнего источника мощность по типам распространяющихся волн в
зависимости от размеров площадки нагружения. Для предельного случая
сосредоточенного воздействия а 0 при v = 0,25, k2 = 3находим, что
рэлеевская волна уносит 49% энергии,
"05
продольная - 22%, сдвиговая-29%. Изменение относительного распределения
энергии по типам волн с ростом ширины площадки нагружения представлено на
рис. 33. Отметим, что при изменении размеров площадки изменяется не
только относительная интенсивность того или иного типа движения, но и вся
подводимая от источника мощность.
Интересные данные о распределении энергии между типами волн в
осесимметричном и в более общем неосесимметричном случаях содержатся в
работах [232, 286]. Наглядное изображение кинематики движения частиц
полупространства под действием сосредоточенной силы (осесимметричный
случай) приведено в работе [286], откуда заимствован рис. 34, где
показаны относительные амплитуды смещений и их пространственное
распределение для продольных, сдвиговых и рэлеев-ских волн. Расчеты
выполнены для случая v = 0,25. Здесь рэлеевская волна уносит 67% общей
подводимой энергии, сдвиговая волна -27% и продольная -7%.
Как отмечено в работе [232], в ряде геофизических экспериментов полезной
является только мощность, переносимая продольными волнами. Поэтому, а
также в связи с общим вопросом о возможности распределить энергию между
отдельными типами волн за счет конфигурации источника укажем на
результаты расчетов, выполненных в работе [232]. Рассматривалась система
трех одинаковых круговых излучателей с малыми по сравнению с длиной волны
радиусами, расположенных симметрично на окружности радиуса
1/3
Ь. В случае, когда kxb = -*-g-, распределение энергии между типами волн
следующее: рэлеевская волна уносит 65%, сдвиговая - 27% и продольная -8%
общей энергии. Оптимальным с точки зрения достижения наименьшей
интенсивности поверхностных волн для данной системы является такое
расположение излучателей, когда kxb = 1,1743. При этом в рэлеевской волне
уносится всего 26%, в сдвиговой - 43% и в продольной - 31% общей энергии.
Проведенные вычисления позволяют выполнить интересное сра-
Рис. 34.
106
внение мощности источников типа сосредоточенной сильГв случае
полубесконечного и бесконечного пространства. Такие оценки показывают
роль граничных поверхностей и влияние характера нагрузки на эффективность
возбуждения того или иного типа движения.
Используя фундаментальные результаты решения пространственной задачи [74,
104], находим, что средняя за период мощность W0, излучаемая
сосредоточенной силой Q ехр (-iwt) в бесконечную упругую среду,
определяется по формуле
^•=25г5<*? + 2*'>- <6-16>
Для плоского случая сила интенсивности Q на единицу длины излучает в слой
единичной толщины среднюю мощность
(5.17)
При этом в упругой среде возбуждаются как продольные, так и сдвиговые
волны. Обозначая W^P) и lt7(S) средние потоки мощности в каждом из этих
типов движения, для характеристики относительной интенсивности их
возбуждения получаем равенства
ЩР) 1 ^ 2*з
W, 1+2*з* = 1+2*з*
ЩР) 1 *з (5Л8)
Wt 1 + *2 ' 1 + *2 '
В материале с величиной v = 0,25 при генерации колебаний сосредоточенной
силой основная часть энергии (91%) уносится в бесконечность сферической
волной сдвига. В двумерном случае (цилиндрические волны) возрастает
интенсивность продольной волны, она уносит уже 25% общей энергии,
подводимой от источника.
Интересно также сравнить полные мощности, развиваемые источником с
постоянной амплитудой силы в бесконечном и полубес-конечном
пространствах. Проводя вычисления по формуле (5.9) для полупространства с
величиной v = 0,25, получаем
W - 2,346-^-, W{P) = 1,139
wQ2
4jiG ' " - *'*" 4jiG
- wQ2
Г1 = 1,207 -taQ-.
(5.19)
В свою очередь для пространства из (5.17) находим
^= 1-0471§Г- <б-2°)
Видно, что при фиксированной амплитуде силы мощность, передаваемая
источником полупространству, более чем в два раза выше. Если учесть
приведенные выше данные о распределении энергии
107
между отдельными типами движения, то будет ясно, что практически весь
прирост мощности связан с генерацией рэлеевских волн.
В осесимметричном случае справедливы аналогичные количественные
соотношения [53]
W = 0,932 К W(R) = 0,649 -Ц- fe2,
_ _ <5-21) = 0,283-Ц-*2, Г0 = 0,366 -|g-fe2.
Здесь энергия, затрачиваемая на возбуждение продольных и сдвиговых волн,
также изменяется мало. И в этом случае основной прирост потребляемой
мощности источника обусловлен рэлеевской волной.
ГЛАВА 4
ВОЛНЫ В БЕСКОНЕЧНОМ СЛОЕ И ЦИЛИНДРЕ
Перейдем к изучению закономерностей распространения волн в таких упругих
телах, для которых существенную роль в формировании поля играет не только
взаимодействие волн со свободной границей, но и взаимовлияние границ. В
качестве объектов, которые в связи с этим будут рассмотрены, используются
бесконечный упругий сплошной круговой цилиндр и слой. Для таких областей
довольно просто получить наборы частных решений уравнений движения,
