Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гриченко В.Т. -> "Гармонические колебания и волны в упругих телах" -> 41

Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.

Гриченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах — К.: Наука, 1981. — 284 c.
Скачать (прямая ссылка): garmonicheskievolnivuprugih1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 114 >> Следующая

сосредоточенная сила является совершенно неэффективным источником
энергии, поскольку существует конечное значение средней за период
мощности и бесконечное - мгновенной мощности.
102
При вычислении средней за период мощности W, излучаемой при нагружении
поверхности, можно непосредственно проинтегрировать составляющую Рг
среднего значения потока мощности через поверхность? = 0. В
рассматриваемом случае нагружения нормальными силами 2Gf (х) из общей
формулы (5.8) главы 1 получаем
- J 0, \х\>а,
г~ 1 - Gaf(x) 1т иг(х, 0), (5.6)
а а
W - j" P^dx = - Geo J f(x) Im иг (x, 0) dx.
-a -a
В частном случае, когда f (х) = /0, из выражения (3.9) следует
Im иг(х, 0)
ft?

ад
COS UrX¦
- 2
sin (ga) la
(2/0a)
(2 f0a)
V ft? - g2 cos (gx) d\
(2?2 - ft?)2 + 4g2 Кft? -g2 К ft| -g2
g2 (g2 - ftf) К ft? - g2 cos (gx) dg (2|2 - ft2,)4 + 16g4 (g2 - ft?) (ft?
-12)
(5.7)
__ <n ft? ( V^ft p - ft?
Sin (ftpfl)
~ад
+2j№J'
к*?-?*?
sin (gfl)
J (2g2 - ft?)2 + 4g2 К ft? - g2 К ft? - g2
+
+
+ 8)[^n
g2 (g2 - ft?) К ft?-g2rfg (2g2 - ft?)* + 16g* (g2 - ft?) (ft? - g2)
(5.8)
В предельном случае, когда 4G/0a -> Q и а -> 0, получаем среднюю
мощность, с которой нормальная к поверхности сосредоточенная сила Q ехр
(-mt) производит работу по возбуждению волн в полупространстве:
kt
Q4oft? j 2я Vkl ~k] | ? 2 Kft? -14-
4 С/я
+
+
+
[
8g2 (g2 - ft?) К ft:
j! (2g2 - ft?)2 + 4g2 Vk\-vV k\~ g2
(5.9)
(2g2 - ft?)* + 16g* (g2 - ft?) (ft? - g2) j '
Это выражение совпадает с приведенным в работе Лэмба [207J
103
Вычисление средней мощности произведено в соответствии с формулой (5.8).
Поскольку эта мощность определяется только мнимой частью в выражении
нормального смещения (совпадающая по фазе с нагрузкой часть скоростей
точек ее приложения), то бесконечный интеграл в (3.7) не вносит никакого
вклада в эти величины. В случае сосредоточенной силы именно данный
интеграл обеспечивает обращение в бесконечность смещения (скорости) в
точке приложения силы. Это обусловливает обращение в бесконечность
мгновенной мощности, развиваемой сосредоточенной силой при возбуждении
полупространства, в то время как средняя за период мощность остается
ограниченной.
Характерной особенностью приведенных выражений для мощности источника
является отделение в явном виде мощности, затрачиваемой на создание
поверхностных волн. Это является естественным следствием выделения в
явном виде смещений, соответствующих рэлеевской волне. Разделить, исходя
из выражений (5.8), мощность Wv затрачиваемую на создание продольных и
сдвиговых волн, не удается. Это, однако, можно сделать, вычисляя величину
Wx иным путем - как поток мощности через цилиндрическую поверхность
большого радиуса. Причем для вычислений естественно использовать
асимптотические выражения (4.6) для амплитуд смещений.
Усредненная за период мощность Wv проходящая через полу-цилиндрическую
поверхность произвольного радиуса R, определяется по формуле
Л/2 _
W7! = 2 J PrRdQ, (5.10)
о
где
Pr = j- (orUr - aRuR + т яе"е - т^ене). (5.11)
Если в соответствии с законом Гука и исходя из перемещений (4.6)
вычислить напряжения oR и т"е, то, оставляя главные члены асимптотики,
получаем следующие выражения:
_ о*. /JL г - 2 si"> 9) х
(5.12)
X ехр I iktR - i 11
' (кг sin 0)
'4
= G /'-h ^ F(C?n99) (Sin2 9 ?~)/l Sin 29 X
X exp ^ik2R - i -p-j .
Отметим, что, как и для смещений (4.6), здесь имеет место разделение
напряжений по типам волн. При больших значениях R продольная волна
вызывает только радиальные напряжения, а попе-
104
речная - только касательные. Это свойство напряжений совместно с
аналогичным свойством смещений дает возможность разделить мощность Wi на
две составляющие: Wi= W{P) + B7(S), соответствующие продольным и
сдвиговым волнам.
При получении конкретных расчетных формул следует учесть, что функция F
(ki sin 0) вещественна для всех 0 и имеет вид
F^sin 0) = k\ [(2sin20 - k2)2 + 4 sin2 0 cos вУ k2 - sin2 0]. (5.13)
В противоположность этому функция F (k2 sin 0) может быть как
вещественной, так и комплексной на рассматриваемом интервале изменения 0.
Для ее вычисления нужно пользоваться следующими формулами:
F (k2 sin 0) = k\ (2 sin2 0 - I)2 + 4 sin2 0 cos 0 j/~ sin2 (c)J,
O^0^0o, sin 0O = , (5.14)
F {ki sin 0) = k* |(2 sin2 0 - l)2 + 4t sin2 0 cos 0 "[/"sin2 0-,
0o<0<9O°.
Приведенные расчетные выражения для функции Рэлея дают возможность в
рассматриваемом случае равномерной нагрузки представить составляющие
потока мощности продольных и сдвиговых волн в виде
Г<я> =
Я/2
М2 j
sin2 (k,a sin 8) cos2 9 (k2 - 2 sin8 6)2 dd
2Gn W*, J sin 0)2 [(2 sin2 0 - Л2)2 + 4 sin2 9 cos 0 Y № - sin2 0J2 '
^(S) _ co
sin2 (k2a sin 0) sin2 20 (
X ' '
i
sin2 0 d0
[8 (k%a sin 0)2
(2 sin2 0 - l)2 -p 4 sin2 0 cos 0 j/~ sin2 (c)J
Я/2
+ j
aJ (ha
sin2 (k2a sin 0) sin2 201 sin2 0 -
d6
в, (ha sin 0)2
(2 sin2 0 - l)4 -p 16 sin4 0 cos2 0 ^sin2 0 ¦
. (5.15)
Расчеты по формулам (5.8) и (5.15) позволяют разделить общую подводимую
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed