Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
Тогда можно написать
(7оРо - 7Р - (tm))ф = 0, (2.22)
где
*=(c)• <2'23>
104
Глава 2. Частицы со спином 1/2
Уравнение (2.22) называется уравнением Дирака. Расписывая его в
компонентах, получим
(ро - т)Ф1 - (сгр)Ф2 = о, (2.24)
( Ро - т)Ф2 + (сгр)Ф! = 0. (2.25)
Из (2.25) вытекает (2.21). А подставляя в (2.24) выражение для Ф2 из
(2.21), получим связь между энергией и импульсом:
(<тр)2 1
(ро - то) -
Ро + т
Ф1 =0,
ИЛИ
pl~m2 - р2 2 2 2
-------------Ф1 =0, т. е. р0 - р = т .
Ро + т
Уравнение (2.22) релятивистски инвариантно, поскольку 70Р0 - 7Р =
- 7ilVil = Р - релятивистский инвариант.
Таким образом, уравнение
(р - ш)Ф = 0 (2.26)
выделяет состояния с положительной четностью, поскольку при v = 0
остается только Ф]_. Соответственно, для состояний с отрицательной
четностью имеем
(р + ш)Ф = 0. (2.27)
Чтобы наше описание годилось и для частиц с нулевой массой, надо
избавиться от масс в знаменателях волновых функций (2.20). Для этой цели
введем биспинор их с другой нормировкой (умножая просто выражения (2.20)
на л/2ш), т. е.
фА = ( VPo + гтрх
(an)^p0 - mtp\
- = (2-28)
Поскольку (f имеет две компоненты, то имеется две линейно независимых
функции ср\, отвечающие двум проекциям спина; это обстоятельство мы и
отметили индексом Л; (Л =+1,-1). В системе покоя Л/2 есть просто проекция
спина, т. е.
= А^а- (2.29)
2.1. Свободная частица со спином J = 1/2
105
Легко видеть, что
0\ /1
^-1 = У' ^+1 = \оУ'
и волновую функцию в состоянии покоя можно записать в виде
(fi и ср 2 как раз и имеют смысл амплитуд вероятности частице иметь,
соответственно, проекцию спина +1/2 и -1/2.
Запишем выражение (2.29) релятивистски инвариантным образом. Для этой
цели введем единичный вектор (, (2 = 1 в неподвижной системе,
направленный вдоль спина, тогда (2.29) можно переписать:
(<т?)(^ = А ср. (2.30)
Можно ввести пространственноподобный 4-вектор С^Сд = - 1? который в
системе покоя переходит в (0, ?). Введя также четырехмерную матрицу
'0 Г
75 I I о J >
можем записать релятивистски инвариантное выражение, соответствующее
(2.30):
(7бСй7м - А)и = 0. (2.31)
Действительно, в системе покоя мы имеем
-(7бСг7* + А)и = [(<тС) - 1]?> = о.
Здесь мы использовали то, что
-о% о
15Ъ ' 0 +СП
и то, что в системе покоя нижние компоненты и равны нулю. Таким образом,
чтобы однозначно определить спинор, необходимы два уравнения:
(р - т)и = 0, (7бС - = 0.
(2.32)
106
Глава 2. Частицы со спином 1/2
Решение этих уравнений будем обозначать либо и(р, С), либо их(р) (здесь
уже и Л, и С фиксированы).
Обсудим вероятностную интерпретацию спинорных волновых функций. Для
этого, как и раньше, нам нужно составить сохраняющуюся величину.
Очевидно, релятивистским инвариантом будет произведение спиноров разных
типов (т. е. преобразующихся по различным представлениям группы Лоренца).
Действительно,
i'+? = ^+e-i(°-n)ef "тп)? = ^
Мы же пользуемся их линейными комбинациями:
*i = ^+?)> ф2 = ^(?-6-
Тогда
(ё+?) = (^ - Фа + ф2) = ф^ф! - ф?ф2.
Введем биспинор (дираковски сопряженный к их)
й\р)=и+{р)1о = (Ф+,Ф+) (J %) = (Ф^.-Ф^)-Тогда величина
йх(р)их\р) = - Ф^Ф'2 (2.33)
является релятивистским инвариантом.
Рассмотрим, какому уравнению удовлетворяет йх. Из первого уравнения
(2.32) имеем
г/+(р+- т) = 0, (2.34)
где
Р+ = ЬоРо - 7Р)+ = 7оРо + Р7
в силу эрмитовости 7о и антиэрмитовости 7^. Домножая (2.34) на 70 и
пользуясь перестановочными соотношениями для 7-матриц
7/Л^ +
т. е.
77о = ~7о7>
2.1. Свободная частица со спином J = 1 /2
107
получим
й(р - га) = 0. (2.35)
А что произойдет со вторым уравнением (2.32)? Как и в предыдущем случае,
имеем
м+(С+75-А) = 0.
Опять умножая справа на 70 и пронося 7-матрицы вправо, получим
йЫ - А) = 0, (2.36)
т. е. йх является решением тех же уравнений, что и их.
Поскольку, как мы показали, йи есть релятивистский инвариант, а 7М
преобразуется как 4-вектор, величина = й'убудет преобразовываться как 4-
вектор, ее нулевую компоненту г/70 и = и можно отождествить с плотностью
вероятности, а й^и - с плотностью потока вероятности.
Действительно, в координатном представлении уравнения (2.32) и (2.35)
запишутся:
~~ ТО) = °' ^2'37^ Ф(ж) = 0 (2.38)
(стрелками здесь обозначено направление дифференцирования). Умножая
(2.37) слева на Ф, а (2.38) справа на f и вычитая одно из другого,
получим
= 0. (2.39)
Таким образом, удовлетворяет уравнению непрерывности и jo, действительно,
можно приписать смысл плотности вероятности. Как и прежде, частицы
отвечают положительно-частотным решениям. Как сконструировать такие
решения уравнения Дирака?
Положительно- и отрицательно-частотные решения отличаются заменой
Ро ->• -РО, Р ->• -р. (2.40)
Выпишем наш спинор
"Л( )/ Л + у
\(<тп)у/ро - mcpxj
108
Глава 2. Частицы со спином 1/2
После замены (2.40) получим
u\-p) = ±i(, V (2.42)
\(<Tn)y/p0 + mtp\J
Знаки dL возникают из квадратного корня. Какая связь между их(р) и их(-
р)1 Для скалярной частицы она была тривиальной: (р(-р) = Ц>*(р)-
Рассмотрим и здесь
