Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
плюс.
122
Глава 2. Частицы со спином 1/2
t
и
О знаке второй амплитуды мы пока ничего не можем сказать, для его
определения перейдем в и-канал. В и-канале эта амплитуда уже имеет полюс
по энергетической переменной (и играет роль квадрата энергии в с.ц.м.),
и, буквально повторяя предыдущие рассуждения, получим, что и перед второй
амплитудой должет быть знак плюс. То есть для бозонов (частиц со спином
нуль) в нашем случае мы должны складывать амплитуды.
Рассмотрим теперь фермионы (в нашем случае это частицы со спином 1/2):
Pi t рз р\ и P4
Как и в предыдущем случае, для выяснения знака первой амплитуды перейдем
в t-канал, для этого произведем замену
и
T(s) = ±e2(u(ps)'jlxu(p1))j(u(p4)^i_lu(p2))±
±е2(й(р4)'Уци(р1))^ (й(р3)7ми(р2))-
(2.86)
Рз = -Рз , Р2 = -Р2
(2.87)
2.5. Рассеяние электронов. Связь спина со статистикой
123
(при ЭТОМ ПОМНЯ, ЧТО поскольку u(-p) = -v(p), ТО Тдрод = тогда .j
= ±e2(v(p^)-/l_lu(p1))-(u(p4)luv(p^))±
±е (u(p4huu(Pi))-(v(P3)luv(P2))-
(2.88)
Если покажем, что скобки в первом слагаемом комплексно сопряжены, то
перед этим слагаемым должен стоять знак "+", чтобы Т(r) имела отрицательный
знак вычета, т. к. jo - 0 из сохранения тока.
Итак, рассмотрим
{u{Pi)luv(pi))+ = (u+loluv)+ = w+(7o7m)+m = = г,+7^ 7о" u = v(ptbuu(P4)'
поскольку 7о эрмитова и коммутирует с 70, а 7^ - антиэрмитовы и
антикоммутируют с 70. Таким образом, действительно, при р\ ~ р4 имеем
отрицательный знак вычета и, следовательно, перед первой амплитудой
(2.86) должен быть знак Вторая диаграмма с точки зрения t-канала имеет
вид:
Р1
Рз
Ра р 2
Ее знак мы можем выбрать, исходя из нерелятивистской аналогии. Амплитуда
рассеяния частицы на античастице должна быть противоположна по знаку
амплитуде рассеяния частицы на частице (поскольку знак потенциала
противоположен). То есть t-канальная амплитуда должна иметь знак,
противоположный 5-канальной, хотя бы при малых 5. С другой стороны, мы
получили, что амплитуды испускания фотона частицей и античастицей
одинаковы. Действительно, как мы видели. _(_^+ ) = _ф+
)ъф+),
124
Глава 2. Частицы со спином 1/2
но минус компенсируется тем, что Т(r) = - ТПрод- Поэтому перед второй
амплитудой мы должны поставить знак
Знак второй диаграммы можно установить и не обращаясь к нерелятивистскому
пределу. Продолжим для этого амплитуду в и-канал. Сделаем этот переход из
t-канала, т. е. заменим
Р4 = ~рХ+ , Рз = -Pt+¦
Мы фактически два раза поменяли знак у рз, спинор при этом получит знак
поскольку при каждой замене р -> - р он умножается на г. То есть, чтобы
получить отрицательный вычет у второй амплитуды в t-канале, мы ее должны
взять со знаком Можно сказать несколько иначе. Если в t-канале
аннигиляционная диаграмма написана со знаком "+", а диаграмма рассеяния -
со знаком то при переходе в и-канал диаграммы переходят друг в друга и
меняют знаки, т. е. амплитуда остается той же, что и требуется, потому
что и- и t-каналы тождественные. Если бы мы обе диаграммы в t-канале
написали со знаком плюс, то в и-канале получили бы амплитуду
противоположного знака, т. е. не удовлетворяющую условию унитарности.
Мы приходим, таким образом, к тому, что аннигиляционная диаграмма и
диаграмма рассеяния должны входить с разными знаками и, следовательно,
амплитуда рассеяния в 5-канале должна быть антисимметрична по отношению к
перестановке импульсов начальных или конечных частиц, т. е. электроны
должны подчиняться статистике Ферми-Дирака.
Общий знак амплитуд в 5-канале при этом не определен, поскольку если мы
придем в 5-канал, пройдя через t- и и-каналы, то получим амплитуду
противоположного знака. Однако в отличие от t- и и-каналов, где
взаимодействуют разные частицы, в 5-канале это несущественно. Причина
состоит в том, что условие унитарности определяет только знак амплитуды
рассеяния вперед, но для тождественных частиц рассеяние вперед и назад
тождественно и, вообще, имеет смысл только рассеяние в одну полусферу.
Поэтому для амплитуды одного знака рассеянию вперед соответствует линия t
= 0, а для другого знака линия и = 0. То есть определенная запись
амплитуды содержит в себе определения понятия "вперед". Эта ситуация
имеет место уже в нерелятивистской теории. Пусть
_ егр1г1егр2г2 _ егр1Г2егр2Г1 ^ - е*РзГ1егр4г2 _ e"p3r2егр41*1
fab ~ J (2'89)
2.5. Рассеяние электронов. Связь спина со статистикой
125
В (2.89) под интегралом будет стоять знакоопределенная величина при
знакоопределенном потенциале, только если Фа = Ф&, т. е. р\ = рз, Р2 =
Ра- Обсудим, что произойдет, если, получив амплитуду противоположного
знака, мы еще раз продолжим ее в t- и затем в и-каналы. Очевидно, что мы
получим в t- и и- канал ах амплитуду тоже противоположного знака, т. е. в
этом случае Т = ТПрод в отличие от того, что мы писали раньше. Таким
образом, соотношение между продолженной амплитудой е~ е~ -> е~ е~ и
амплитудой е+е- -> е+е- зависит от способа продолжения, и это связано с
неопределенностью знака амплитуды е~е~ -> е-е-.
