Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
Итак, мы получили связь спина со статистикой. При этом мы использовали
условие унитарности и то, что любую амплитуду можно получить
аналитическим продолжением, т. е. фактически аналитичность амплитуды, а
это связано, как мы покажем вскоре, с причинностью. Итак, действительно,
двух условий - унитарности и причинности - достаточно, чтобы установить
знаки амплитуд. В нашей теории, таким образом, принцип Паули, который
согласуется с экспериментом, выполняется автоматически.
В области малых углов рассеяния наша амплитуда перейдет в обычную
амплитуду кулоновского рассеяния. Исходя из этого, покажем, что константа
взаимодействия е является зарядом. Малые углы рассеяния соответствуют
Рз^Ри
т. е. t ~ 0, при этом второй (обменной) амплитудой можно пренебречь,
поскольку при t = 0 она не имеет сингулярности, а первая ~ 1 /?, т. е.
при t -> 0 стремится в оо.
Р1 Рз
1
t
Р2 Р4
Вычислим й(рз)^^и(р1). Поскольку р\ + га = р\ - m + 2га, (pi - m)u = О
126
Глава 2. Частицы со спином 1/2
и рз - pi, а также
7мР1 = -Р17м + 2Р1а" (7/А + Pi7m = PxvbpHv + 7^7/J = 2Pi/J >
ТО
u(P3bu.u(pi) = й(рзЬц.(Р1 + =
_/ ч/ л ч ^(Pl) л Л .
= w(Pi)(-Pi + то)^-^- + 2Р1й------^------= 2Р1ц- (2.90)
Аналогично,
й(р4)7Йи(р2) = 2р2й. (2.91)
Тогда
62 4б2?77/2
Г = -2р1д • 2p2fl = (2.92)
в нерелятивистском пределе. Это обычная амплитуда кулоновского рассеяния,
совпадающая с (1.174) для бесспиновых частиц. Таким образом, при малых
переданных импульсах наличие спина электрона никак не сказывается на
рассеянии. Это следует уже из того, что вершинные части превращаются в
plfl + р^ = 2plfl, и p2fl + р^ = 2p2fl (см. (2.90), (2.91)), т. е. в
вершины для бесспиновых частиц. Из вида (2.92) следует, что е, -
действительно, электрический заряд электрона.
2.6 Рассеяние фотона электроном (Комптон-эффект)
Как всегда, рассмотрим простейшие графики, описывающие рассеяние фотона
на электрона.
ккп
\
\
\
k2<J2 kiai
/
k2<J2
2.6. Рассеяние фотона электроном (Комптон-эффект)
127
Второй график можно нарисовать и так:
ki
Р 2
Р1
P2-ki=pi- /с 2 -------fc2
Амплитуду рассеяния имеет вид:
т = el2uX2{p2)Mul_luXl{p1)e^\
где
М= е
= е
га - pi - ki m - pi + k2
7i/(Pi + fci + m)7м , 7m (Pi ~ &2 + m)7i
ra2 - (pi + ki)2 rri2 - (pi - k2)2
Здесь (pi + ki)2 = 5, (pi - k2)2 = u.
Покажем, что сохранение тока
ki = 0, k2vMVfl = О
у нас выполняется автоматически. Действительно,
1 1
J га - р2 - к2
+ 7м
га - pi + к2
~к2
(2.93)
(2.94)
(2.95)
Поскольку MUfl у нас входит только в обкладках между спинорами, которые
удовлетворяют уравнению Дирака, мы можем добавить в числителях слагаемые
р2 - га и pi - га, т. е.
k2vMvll =
= (/с2 +р2 - га)
m - р2 - к2
7 (л + 7 ti
га - pi + к2
(к2 + га - pi)
е2 =
= е2(-7м+7й) =0-
128
Глава 2. Частицы со спином 1/2
Трудность при вычислении амплитуды возникает из-за большого числа
спиновых переменных. Чтобы ее избежать, сразу напишем выражение для
сечения
<b = j К" I2 + h-p,- (2.96)
и вычислим полное сечение рассеяния во все поляризации электронов и
фотонов для случая, когда падающие пучки не поляризованы (именно такая
ситуация часто реализуется на эксперименте). Для этого нужно
просуммировать по всем конечным поляризациям электрона и фотона и
усреднить по начальным, т. е. вычислить сумму
Е = - |r^2<Ti|2 = I У'
а / -J I A2Ai I Л / ^
4 Z-/ I Л2А1 | 4 Ц v ц' V'
<Т2СГ1 Л2Л1
х (nX2(p2)Ml,fluXl(p1))(nX2(p2)Ml,lflluXl(p1))+. (2.97)
У нас суммирование идет по двум значениям a = 1,2. Однако если
выполняются условия (2.95), то сумму по двум поляризациям можно заменить
суммой по четырем (поскольку остальные две поляризации в силу (2.95) не
дадут вклада в (2.97)). Тогда
Е = - Е
(71=1,2 (71=0
и (2.97) можно переписать так:
И = \ Е(йА2М^Л1)(йЛ2М^иА1)+ =
Л1Л2
= \ J2(UX2M^UX')(UX'+M+^0UX2) =
Л1Л2
= ± ^(йЛ2М^иЛ1)(йЛ17оМ+7о"Л2) =
Л1Л2
= j ^(йА2Мй^А1)(йА1М^А2). (2.98)
4
Л1Л2
Мы здесь использовали тождество 7070 = 1 и ввели
= 7оМ^7о. (2.99)
2.6. Рассеяние фотона электроном (Комптон-эффект)
129
Из явного вида (2.94) для M^v непосредственно следует, что
М= MUfl (2.100)
(чтобы проверить это соотношение, необходимо использовать
{7о, 7г} = 0, 7^ = 7о, 7+ = - 7i).
Теперь просуммируем по Л1Л2. Для этого распишем (2.98) в матричном виде,
т. е.
У! = ^ йа2(p2)(MflI;)apUp1 (pi)u^1 (pi)(Ml^fl)7su^2(Р2) =
Л1Л2
= \ Y (MUv)<*P(Pl + m)pi{Mvu)ls{P2 + m)Sa =
= |Sp[M^(pi + то)М"й(р2 + га)]. (2.101)
Мы здесь воспользовались соотношением u^,(p)u^(p) = (р + m)ap. В
результате суммирование по поляризациям свелось к вычислению следа
некоторой матрицы.
Удобно записать фазовые объемы в виде
(Рр2 14 Г / 2 2\
---- = d p2S+(p2-m ),
^Р20
= d4k25+(k2).
ZK2O
Тогда выражение для сечения, с использованием (2.101), принимает вид da =
^ySp[(pi + m)M(JiV(p2 + m)MV(JL\x
X д+(Р2 - т2)д+(к1)(2тг)45(р1 + h - р2 - k2)d (2Л02)
Процедуру вычисления сечения в виде (2.102) можно, как и в случае
скалярных частиц, изобразить графически. Рассмотрим первую диаграмму. Для
