Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
ux*(-v) = Ti[ Vpo ~
V(<rn)*VpiFrmyl / \
\-ay(an)^/po + mayiplJ Мы здесь умножили обе компоненты на <т2 = 1 и
воспользовались тем,
ЧТО (7 х - (7х ч & z - & z 5 @у - CyCxi ^z^y -
^y^Z't ^ ТаКЖХЭ ^y^y -
= -CFyCFy = - 1.
Обозначим (an)ay(px = (p'x, тогда <Jytp\ = (crn)^, поскольку (an) (an)
= n2 = 1 и
,tA.( ) = +/-io-"(o-n)v'Po - =
v icry\/po + rrup'x J
0 ~i(Ty\ f VpoTrn<P\
= ± Г n y . v"u. 1 , . (2.44)
\гсгг/ 0 J \((rn)y/po-mip'xJ
Выясним, что такое cpf. Покажем, что если ср\ удовлетворяет
(сгп)^л = А<^л, (2.45)
то для ср'х имеем
(<rn)tp'x = -A ip'x, (2.46)
т. е. ср'х описывает частицу с противоположной проекцией спина.
Из (2.45) имеем
(<T*n)v?A = А^Л-
Умножая слева на сгу и используя
°уЧ>\ = (сгп)^л,
получим
ay(<rn)*ip*x = \{an)if'x.
2.1. Свободная частица со спином J = 1/2 109
С другой стороны,
ay(tr*n)ip*x = (-trn)ay<p*x = -ip'x,
т. е.
-<р'х = Л(сгп)^.
А поскольку Л может принимать лишь значения ±1, то
(trn)tp'x = -\<рх,
т. е. действительно ср'х = ср~\. Используя этот факт, мы можем построить
теперь спинор, дираковски сопряженный к их(-р). Имеем
их(-р) = ±(\/р0 + mp-х, (сгп)\/ро - пир-Л)х
(2-47)
где
С = ъъъ=(0. гпау) (2.48)
i<7y 0
- так называемая матрица зарядового сопряжения. Ее свойства:
С2 = -1, С+ = С-1 = -с,
СГС-1 = -7/Г. (2.49)
Итак, мы получили связь между дираковскими спинорами с положительными и
отрицательными частотами
ux(-p) = [и~х(р)]тС .
Часто вводят спинор vx согласно
их(-р) = Vх (р).
Найдем связь между v н й. Имеем
их(-р)+ = [и-х(р)]тСЪ ,
тогда
их{-р) = 7оС+ [м_А+]т = С7о["-Л+]т = -[^(р)С]т,
110
Глава 2. Частицы со спином 1/2
т. е.
v\p) = С[и-^р)]т, (2.50)
vx(p) = [u~x(p)]T С. (2.51)
А что если в выражении для йх(р) сделаем замену р -> - р! Получим ли
выражение (2.47)?
Из (2.28) имеем
Делая замену, получим
u (-р) = ±(у/ро - mcpj, -cpj(an)+^/p0 + га). (2.52)
Сравнивая это выражение с (2.43), видим, что
йХ(~Р) ф их(-р).
Выражение йх(-р) означает, что мы сделали замену р -> - р в функции
йх(р), а их(-р) - что мы взяли дираковское сопряжение от функции их(-р).
Таким образом, функции йх(-р) и их(-р) не совпадают и отличаются знаком.
Поэтому, если у нас
vx(p)=ux(-p),
то
vX(p) = -йх(-р). (2.53)
Это означает, что решения их(р) и йх(р) при переходе р -> - р перестают
быть дираковски сопряженными.
Приведем два полезных равенства.
1. Условие нормировки
йХа(р)и^{р) = 2то<5АА' (2.54)
(а нумеруют 4-компоненты спинора). Это равенство следует непосредственно
из вида спиноров:
йа(р)иа(Р) =
= (po + m-po + m)5x\' = 2то<5Ла'-
2.2. Функция Грина электрона
111
2. Правило суммирования по поляризациям:
(2.55)
А=1,2
Его можно доказать следующим образом:
и"(р)й/з(р) = + 7Й/3,
А=1,2 А=1
где введено суммирование по двум дополнительным состояниям с другой
четностью:
4
У ихйр = 2md1/s.
А=1
2.2 Функция Грина электрона
Мы получили уравнение Дирака для частицы со спином 1 /2
(1А - то)Ф(р) = О,
(2.56)
или в координатном представлении
(2.57)
Функция Грина G(x) удовлетворяет уравнению
Переходя в импульсное пространство, получим
(2.58)
(р - m)G{p) = -1
И
т + р
(2.59)
- ¦ - О о • •
т - р - гг тА - рА - гг Здесь мы использовали следующее соотношение:
т2 - р2 - гг
РР = lu.Pu.lvPv = -jilvlu + lvlu)PuPv = P2-
112
Глава 2. Частицы со спином 1/2
Тогда
GaP{x2 - xi) = [ fP {(tm) + pU e~ip(X2~Xl\ (2.60)
J (27r)4z m1 - pl - is
Вычислим G(x2 - x\) при t2 > t\. Проверим, получится ли функция
распространения электрона из х\ в ^2, т. е.
a /3
-------------->-------------
Х\ Х2
Замыкая интеграл по ро на полюс ро = д/га2 + р2:
G(3a{x2 -Хг) =
Л
Ро = \/т2 + р2.
Мы здесь использовали (2.55).
Введя волновую функцию электрона:
Ф*(р,Ж) = ^е-^, (2.61)
получим
Gpa(x2 -Хг) = J -^3^0(P'X2^a(P,xl) , (2-62)
т. е. это, действительно, функция распространения электрона, причем
распространяются положительные частоты.
А что если t2 < t\ ? В этом случае контур надо замкнуть на другой полюс
ро = - д/га2 + р2. Тогда
Gpa(x2 -хг) = j ^егр{х2-Х1\т-р)0а =
= -Е/(^^л(^(^2-Ж1) =
= ~J2 / ]^У0Х(Р'Х2)УаХ(Р'Х1)- (2-63)
2.2. Функция Грина электрона
113
Здесь мы использовали
Yul(-p)up(-p) = (m-p)a/3 А
и то, что ux(-p) = v*(p), a ujg(-p) = -vjg(p), и ввели
Ф ~\х,р) = ^егрх- (2-64)
Из (2.63) следует, что отрицательно-частотное состояние распространяется
вспять по времени, и мы его можем интерпретировать как распространение
античастицы (позитрона), описываемой функцией Ф_(р, ж), вперед во
времени, т. е. из х2 в х\.
Вспомним теперь следующее свойство матрицы зарядового сопряжения С:
С^с-1 = -jJ.
Тогда можно написать
(m - р)0а = [С(тп + р)^1}^
J (27г)4г mz - pz
т. е.
GT (х 2 - х\) = CG(x i - Х2 )С~1. (2.65)
Как видим, при замене х2 - х\ -> х\ - х2 функция Грина электрона не
переходит сама в себя, как это было для случая скалярных или векторных
частиц. Согласно (2.65) матрицы G(x) и G(-x) связаны между собой
унитарным преобразованием, которое осуществляется матрицей зарядового
сопряжения. Это означает фактически, что тот же процесс описывается в
