Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
степень crz равна crz. Таким образом,
а г с+(т Qz . . 0Z 6Z . . 6Z
Ax = ^(1 cos - - mz sin - )[gx cos - + igxgz sin - =
20z ^ . ez ez , oz ez . 2oz
= ? COS -+ у sin - COS -+ O'у sin - cos -- <TZ sin - =
- cos6> + (Ту sin 0)? = cos# + sin#. (2.12)
Величина преобразуется при вращениях как ж-компонента трехмерного
вектора. Повторяя вычисления для других компонент, можно показать, что
величина Ai = преобразуется при поворотах, как обыч-
ный вектор в трехмерном пространстве. Единственное отличие в том, что при
отражениях он ведет себя как псевдовектор, т. е. не меняет знак.
Мы фактически рассмотрели представление группы вращений трехмерного
пространства, являющейся трехпараметрической подгруппой группы Лоренца.
По аналогии с этим построим представление, соответствующее
преобразованиям Лоренца.
Пусть система отсчета движется вдоль оси z со скоростью v, тогда в этой
системе
/ z -\-vt . .
2 = . 0 = zchx + tshx,
V*
t vz
t' = г----==zshx + tchx, (2-13)
V1 - v
где th x = v. Эти преобразования очень похожи на поворот на комплексный
угол, поэтому по аналогии для матрицы преобразования двухкомпонентных
величин положим
uz = e^°z (возможно также uz = e~^az),
т. е.
= ^+=<?+е^. (2.14)
Как и раньше, величина Az = crz? будет преобразовываться по закону
(2.13), где роль временной компоненты играет Aq = и сама Aq
2.1. Свободная частица со спином J = 1 /2
101
будет преобразовываться как время в (2.13). Действительно, из (2.14)
напишем
Аналогично и для Az, т. е. величина (Д),А) = (?+?, ?+<т?) образует 4-
вектор.
Итак, для движения вдоль произвольного направления п можно написать
Но, с другой стороны, представление группы Лоренца можно получить
преобразованиями
Точками мы обозначили величины, которые преобразуются по (2.16). Это
говорит о том, что в двумерном комплексном пространстве1 реализуются два
представления группы Лоренца, или так называемое двузначное
представление. Закон преобразования (2.16) соответствует движению в
противоположном направлении (действительно, замена X -> ~х приводит в
(2.13) к изменению знака скорости).
Итак, мы имеем два сорта величин ? и ?, которые преобразуются по
различным представлениям группы Лоренца. Какие из них мы выберем в
качестве волновой функции частицы со спином 1/2?
Перейдем к системе отсчета, где частица движется со скоростью v:
Из (2.15) следует
Л = ?,+?' = = ?+(ch x + az shX)? =
(C^S) shx+ (?+?) chx = Az sh% + A0 ch%.
(2.15)
= e-t(trn)i
(2.16)
?' = ch | + (ern) sh | ipe
, - ipx ___
1 Векторы в таком пространстве называются спинорами, т. е. наши
двухкомпонентные величины - это спиноры.
102
Глава 2. Частицы со спином 1/2
т. е. если в качестве закона преобразования волновой функции взять
(2.15), то для движущейся частицы будем иметь
г =
Ро + m + /Ро - га
2m
2m
сре
- грх
(2.17)
Однако имеется и другая возможность: движение в противоположную сторону.
Используя (2.16), в этом случае получим
?' =
Ро + m /ро - m
-(<rn)
2т
2т
(ре
- грх
(2.18)
Которая из этих волновых функций верна - это вопрос эксперимента, для
нейтрино, например, имеются обе возможности.
Что произойдет при отражении z -> - zl Видно, что
Это означает, что если частица описывалась какой-то из этих функций в
правой системе координат, то при переходе в левую ее волновая функция
изменится, т. е. в этом случае частица сама содержит в себе понятие
левого и правого. С нейтрино так и есть на самом деле.
Но если частица совершенно симметрична (т. е. "не знает", где право, где
лево), то при отражении ничего не должно измениться. Описание частицы в
правой и левой системе отсчета должны быть эквивалентны (сохранение
четности). Такие частицы должны описываться некоторой суперпозицией ? и
?. Но обычно поступают так: вводят четырехкомпонентную величину
(биспинор) и волновую функцию полагают равной
ЛЛ
а '
\ь)
Если все эти величины будут входить в различные выражения симметрично, то
четность будет сохраняться автоматически.
Описание частицы со спином 1/2 биспинором не диктуется законами природы,
это просто удобная форма записи (она возникла из уравнения Дирака). Часто
удобно вводить также двухкомпонентные волно-
2.1. Свободная частица со спином J = 1 /2
103
вые функции с определенной четностью:
2
Явный вид этих функций:
ф1 =
Удобно в этом выражении исключить п:
Р = n\/Po-m,
тогда
*2 = JfE).= JzeL*,. (2.21)
Ро + га V 2 га ро + m
Поскольку мы ввели две "лишние" величины (Ф2) только для того, чтобы
поддержать симметрию волновой функции относительно пространственного
отражения, то, естественно, они выражаются через Ф]_. Теперь попытаемся
написать уравнение, связывающее все эти величины, чтобы в нем
поддерживалась симметрия между левым и правым и чтобы покоящаяся частица
имела определенную (например, положительную) четность (в системе покоя Ф2
= 0, как следует из (2.21)). Для этой цели введем четырехмерные матрицы 7
(матрицы Дирака в стандартном представлении):
7 0 \ /0 ст'
70 \0 -I ) ,Ъ V -сг* о
