Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
штамовской плоскости означает тождественность фотона и антифотона в силу
его нейтральности.
Итак, мы научились непосредственно по диаграммам вычислять амплитуды
различных процессов. Давайте посмотрим, нельзя ли с помощью диаграмм
сразу представить сечение. Мы уже писали сечение для процесса
Р1 Рз
А 1 \гр ,2/0 \4г/ , d3p3d3p4 1
Л7=уЫ (2") "(и+и-рз-р,) --
Заметим, что в смысле интегрирования справедливо такое соотношение:
<щ- = d4p36(pl - т|)6>(рзо) = d4p3<5+(pf - ml), (1.198)
тогда выражение для сечения можно переписать так:
da = Tab5+(pl - ml)6+(pl - ml)T*bd H^Pi), (1.199)
т. е. по нашим обычным правилам нужно вычислить диаграмму
с учетом того, что в промежутке вместо функций Грина стоят ^-функции, а
это соответствует реальным частицам, для которых р2 = т2, р\ = ш2.
96
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Действительно, функцию Грина можно представить в виде
G = \-5- + in5(p2 - то2). (1.200)
mz - pz - ге mz - pz
Символ Р означает интегрирование в смысле главного значения. Удобство
записи сечения в виде (1.199) состоит в том, что сечения сразу можно
продолжать из канала в канал (при условии, что амплитуда Т при этом не
получит мнимой добавки). Этот вопрос мы обсудим позднее.
Глава 2
Частицы со спином 1/2. Основные электродинамические процессы
2.1 Свободная частица со спином J = 1/2
Состояние частицы с J = 1/2 можно описать при помощи двух величин (^л(А =
1,2), которые имеют смысл амплитуд вероятности обнаружения частицы в
состоянии с проекциями спина 1/2 и -1/2. Их мы можем объединить в одну
двухкомпонентную величину (^)- Тогда волновая функция покоящейся частицы
запишется как обычно:
ф0=^1^е-^. (2.1)
Для движущейся частицы со спином J = 0 мы имели
Ф=
лДро
В нашем случае ситуация более сложная: чтобы получить волновую функцию
частицы с конечным импульсом, нужно сделать преобразование от покоящейся
к движущейся системе отсчета. Для этого нужно знать закон, по которому
будут преобразовываться (р\ при преобразованиях Лоренца. Другими словами,
задача сводится к нахождению представления группы Лоренца, по которому
преобразуются наши двухкомпонентные величины.
Преобразования Лоренца имеют вид:
х[ = aikxk, (2.2)
причем матрица преобразования зависит от шести параметров: трех углов
Эйлера Oi, соответствующих пространственным поворотам, и трех компонент
скорости г^, соответствующих переходу из одной системы отсчета в другую,
движущуюся относительно первой.
98
Глава 2. Частицы со спином 1/2
Теперь обратимся к волновым функциям. Если в покоящейся системе мы имели
некоторые величины ?i, ?2? т0 ПРИ переходе к движущейся системе они будут
преобразовываться в общем случае так:
= ^ll?l + ^12^2,
?2 = u2l?l + U21&- (2.3)
Вообще говоря, как так и комплексны. Поэтому матрица содержит 8
параметров. Наложим на нее условие:
det(uik) = U11U22 ~ U12U21 = 1. (2.4)
В (2.4) содержится два условия, на вещественную и мнимую части, так что
теперь матрица будет содержать 6 независимых параметров -
столько же, сколько в общем преобразовании Лоренца.
Установим со-
ответствие между этими величинами и параметрами преобразований Лоренца.
Как известно, любую матрицу второго порядка можно представить в виде
суперпозиции четырех матриц: единичной и трех матриц Паули:
Ч-Ь=(-Ь=
Матрицы Паули обладают следующими свойствами:
[^г^/е] = 2ieikicrk, О'хСГу = ICFzi = (r)z(r)х = ^уч (2*5)
т. е. ведут себя как генераторы поворота в трехмерном пространстве.
Поворотам в обычном трехмерном пространстве соответствует следующее
преобразование величины ? =
Г = (2.6)
гДе
гц - gf &Z9Z gf GyQy gf СГхвх ^ (2.7)
где <7П - проекция "вектора" сг = (сгх, cry,crz) на ось поворота, 6П -
угол поворота относительно этой оси.
2.1. Свободная частица со спином J = 1 /2
99
Сопряженная величина будет преобразовываться так:
?'* = e-i<e"?*.
транспонируя это соотношение, получим
^сг*т0тг
ИЛИ
?'+=?+е-^"0П) (2.9)
в силу эрмитовости матриц Паули. Символом * мы обозначили комплексное
сопряжение, Т - транспонирование, "+" - эрмитово сопряжение, означает
здесь строчку , ?|), вместо столбца . Величина (?+?), согласно правилу
обычного умножения матриц, есть
(?+S)=?i*?i+S2*6, (2-Ю)
что совпадает с обычным определением скалярного произведения в двумерном
пространстве. Рассмотрим, как она преобразуется при преобразованиях
(2.3), а соответственно, и при преобразованиях в обычном пространстве.
Видим, что в силу (2.8), (2.9)
(?'+0 = (?+?). (2-11)
т. е. преобразование является унитарным.
Рассмотрим теперь закон преобразования для величины
Аг = $+<пС
После преобразования она переходит в
К =
Так, относительно вращения вокруг оси z, компонента Ах становится равной
A'x=?+e-*a*e''<Txe*a*e''i =
= ?+(cos ^azez - ism^<jz6z)<jx(cos^<jz6z + i sin ^<тг6>г)?.
Поскольку разложение cos x в ряд содержит только четные степени ж, а сг2
= 1, получим
cos -crz0z = I cos -6Z.
100
Глава 2. Частицы со спином 1/2
Аналогично
sin -azVz = crz sin-t
поскольку разложение синуса содержит только нечетные степени, а нечетная
