Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
способами: либо вычислять амплитуды, фиксируя знак энергии р, а затем
меняя его, либо фиксируя переменные 5, t, и определенным процессом, а
затем аналитически продолжая амплитуду в другой канал.
Приведем еще один пример:
Р2 Р2
Если смотреть на диаграмму сверху, то в этом случае р\ и р2 являются
импульсами частиц, а р'х = - р±' и р2 = - р2 - античастиц. С этой точки
зрения
s = Oi -pi)2,
и = (Pi- Р2)2,
t = Oi +pi')2,
т. e. теперь мы оказываемся в области t-канала, который отвечает реакции
7T+(j9+/l -\-7T~(pi) -> ТГ+(р2 -\-7Г~(р2) .
Итак, мы получили следующий важный результат: одна амплитуда описывает не
один, а целый класс процессов: в 5-канале 7г_ + 7г_ -> тг- + тг-;
в и-канале 7г+ + 7г_ -> тг+ + тг-;
в t-канале 7г+ + 7г_ ^ 7г_ + 7г+.
В заключение этого параграфа заметим, что распад 7г-мезона на три
запрещен законами сохранения, т. е. лежит в нефизической области. Но если
мы увеличим массу одной частицы, то наша амплитуда опишет и этот процесс,
а область распада на манделыптамовской плоскости будет внутри
треугольника.
1.12. Комптон-эффект (для тг-мезона) 91
1.12 Комптон-эффект (для 7г-мезона)
Простейшие диаграммы, описывающие рассеяние фотона на 7г-мезоне,
следующие:
JciAi
&2А2.
kiXi
А2
+
Р2 ~ ki = Pi - k2
Pi
+
P2
+
pi p 2
Волновая функция мезона имеет вид:
p-ipx
фотона
\/2ро'
"-ikx
e"(k)-^=.
Они у нас возникали в амплитудах при устремлении времен к бесконечности.
Для фотона
Dh
d4k e~lkx
(2тг)4i k2 J (27r)3 2/co
3
/
d3k e~ikx
-9^ =
A=0
92
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
и мы отнесли к разным волновым функциям. Аналогично случаю 7Г7Г рассеяния
можно сразу написать амплитуду, соответствующую двум первым диаграммам,
обозначая амплитуду, соответствующую третьей диаграмме, через М\2д15
получим
(Р2 + Р2 + к2)и^2 '
m2 - (р2 + к2)2
1
м тп2 - (Р2 - ki)2
(pi +Pl + fcl)/^*1-
MX2Xl. (1.188)
Вынесем из (1.188) множитель e^e*1, остаток обозначим М, т. е.
(1.189)
Как мы говорили, чтобы не возникло продольной поляризации, должно
выполняться условие
- 0, - 0.
(1.190)
При к2 0 мы имеем три вектора, ортогональных к т. е. Л = 1,2,3;
е^к^ = 0; для Л = 0, ~ кц, их вид такой (см. п. 1.3):
ех =
1
0
W
(°\
0
1
W
л/А?
(к" \
о о
\к;
Здесь принято обозначение:
е =
/еЛ
Vе-/
/е0\
ei
62
\е3/
(ось z направлена по трехмерному импульсу фотона). При выполнении
(1.190) из (1.189) выпадет член с е°, в силу его пропорциональности а
при к2 = 0, т. е. для реальных фотонов, обратится в нуль и член с е3,
таким образом, скалярные и продольные фотоны при выполнении (1.190) не
будут давать вклада в реальные физические процессы.
1.12. Комптон-эффект (для тг-мезона)
93
Тензор MVjl имеет следующий вид:
+ (2^2 - l~(2pi-k2)u + Мцъ,. (1.191)
zp 2&1 J
Вычислим k2ifMlfjJL:
k2vMv^ = e2[-(2pi + fci)^ + (2^2 - ^i)/i] + k2vMflv.
Мы здесь учли, что 2p2^i = 2pi/с2, так как р\ + к\ = р2 + &2-Учитывая
также Р2 - Р\ - к\ = - &2, окончательно получим
т. е. без введения контактной добавки условию (1.190) не удовлетворить, а
тем самым и не сохранить ток.
Исходя из соображений простоты, примем в качестве гипотезы,
что
В результате, мы действительно получим амплитуду, для которой сохраняется
ток и в которую не входят скалярные и продольные фотоны.
Теперь, пользуясь выражением (1.193) для контактного взаимодействия,
вычислим Т7Г7. Поскольку (1.188) релятивистски инвариантно, вычисления
проведем в системе, где первоначально электрон покоился, т. е.
к то члены, пропорциональные кц в (1.188), обратятся в нуль. Кроме того,
эти еЛ содержат только пространственные компоненты, api, входящий
множителем в первые два члена, - только временную, поэтому ненулевой
вклад в амплитуду будет только от контактного члена.
Таким образом,
k2vMUfl - -2e'2k2f1 + k2vMflu,
(1.192)
= 2 e2glxl/
(1.193)
pw=m , pi = 0.
Так как вклад в (1.188) дадут только две компоненты е^, ортогональные
(1.194)
т. е.
i;7 = 2e2(eA2*(k2)-eAl(ki)).
94
Глава 1. Частицы и их взаимодействие.
Для случая рассеяния на малые углы ki/|ki| = кг /1 кг | амплитуда равна
просто ^ 2
Г(tm) = -2е 6\
1^2 '
(1.195)
Рассмотрим связь с обычной нерелятивистской амплитудой рассеяния. Как мы
говорили,
/ =
87Г л/s 47r^/s При к -> 0 в нерелятивистском пределе л/s -> m, т. е.
(1.196)
/ = -
4тгт
(1.197)
что совпадает с формулой для классического томсоновского рассеяния: / = -
е/2/ш, е! - обычный, не хэвисайдов заряд.
Рассмотрим теперь нашу амплитуду с точки зрения различных каналов.
Произведем замену:
^2 - ~к'\, кг == /с2 ^
т. е. перейдем в и-канал. Такой заменой мы переставили только гамма-
кванты, а поскольку они нейтральны, от этого ничего не изменилось, и
амплитуда в и-канале совпадает с амплитудой в 5-канале. Замена
Р2 = -Р2, ко = /^2
приводит к новому процессу: двухфотонной аннигиляции двух 7г-мезонов и
соответствует переходу в область t-канала.
Pi
-кг
Р2 = -Pi
к2
1.12. Комптон-эффект (для тг-мезона)
95
Симметрия же амплитуды относительно пунктирной линии на мандель-
