Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
вычисления сечения амплитуду надо умножить на эр-митово-сопряженную; это
соответствует тому, что к\,р\ и &25.Р2 поменяются местами, т. е.
130
Глава 2. Частицы со спином 1/2
А это мы перерисуем так:
Такая картинка удобна с чисто технической точки зрения. Она позволяет
сечение вычислять по тем же правилам, что и амплитуды; отличие в том, что
линиям, отмеченным крестиком, соответствуют, вместо знаменателей 1/&2 и
1/(т-р2) = (т-\-р2)/(т2 - р2), ^-функции, т. е. частицы на массовой
поверхности (мы их и отметили крестиком). Множитель (р2 + га) =
и(р2)й(р2) возникает из суммирования по поляризациям
конечного электрона (а множитель (pi + га) = ^и(р\)й(р\) появляется из
усреднения по поляризациям начального). Иначе говоря, диаграммы для
сечения получаются из диаграмм для амплитуды фактически заменой 1/(га2 -
р2) -> (2и)8+(р2) для линий конечных частиц.
Аналогично, возводя в квадрат вторую диаграмму:
ki
Р2
ki
Pi
- X -
к2
Pi
Кроме того, появятся интерференционные члены от смешанных произ-
2.6. Рассеяние фотона электроном (Комптон-эффект)
131
ведений первой диаграммы на вторую и второй на первую, т. е.
Вклады этих диаграмм можно получить непосредственно, расписывая
произведение в (2.102).
Таким образом, сечение представится в виде суммы диаграмм:
Перейдем к вычислению следа. Для первой диаграммы напишем
f(s,u) = jSppi + кг + т)7"(р2 + m)j"x
х (m + p2 + + m)7M] ^ . (2.103)
Мы подставили в (2.101) первое слагаемое МмгУ, соответствующее первой
диаграмме, и, поскольку под знаком Sp можно менять местами множители,
перенесли 7М из начала в конец.
Приведем несколько полезных формул, которые нам пригодятся при
вычислениях:
^Sp(7M7") = д^, (2.104)
jSp(7Mi7m2 7m3 7m4) = дm
Ц2 9 ЦЗ Ц4 9Ц2Ц3 9Ц1Ц4 9fllfl3
W4. (2.105)
След произведения нечетного числа 7-матриц равен нулю.
132
Глава 2. Частицы со спином 1/2
Покажем, для примера, как получается (2.104). С одной стороны, ^Sp(7^7j,)
= ^Sp(7i,7M),
с другой стороны,
^Sp(7M7") = -^Sp(7"7Al) + ^Sp Ig^.
Вычитая из второго равенства первое, получим (2.104). Аналогично,
пользуясь перестановочными соотношениями для 7-матриц, можно получить и
остальные формулы.
Используя коммутационные соотношения для 7-матриц, можно получить также
следующие соотношения (А, В, С - произвольные матрицы) :
= 6^7^ = 7М =
= -46^7*, + 2CV7" = -2С, (7м7д = 4) ,
т. е.
7= -2С . (2.106)
Аналогично, легко видеть, что
7Mii?C% = -2 СВ А. (2.107)
Пользуясь (2.106), получим
f(S'U) = -Г~2---^27Х
(тп2 - s)z 4
xSp[(pi + ki + ш)(4ш - 2р2)(р2 + к2 + ш)(4ш - 2pi)].
(2.108)
В (2.108) отличными от нуля будут члены, вообще не содержащие
7-матриц и содержащие произведения четного числа 7-матриц.
Воспользовавшись (2.104), (2.105), в результате будем иметь
f(s, U) = ^та2 \ g^2^16w4 + 4m2(-2pi(pi + &i)) + 4mVp2+
+ Am2(-2p2(p2 + fe)) - 4ш2 • 2pi(pi + ki) +
+16m2(pi + ki)2 - 4m2 • 2p2(p2 + k2) + ^Sp[4(pi + ki)p2(p2 + k2)Pi]}-
2.6. Рассеяние фотона электроном (Комптон-эффект)
133
Заметим, что
2pi(pi + k\) = 2га2 + 2p\k\ = s + га2,
2р2(р2 + k2) = 2га2 + 2p2k2 = 5 + га2, isp[4(pi + fci)p2(p2 + fc2)pi] = -
4sPiP2 + 2(s + to2)2.
Тогда
/(s, г/) = ---^-- [16ra4 - 4ra2(s + ra2) + 4m2pip2 - 4m2 (s + ra2) - (га/
- s)z
-4ra2(s + ra2) + 16ra2s - 4ra2(s + ra2) + 2(s + ra2)2 - 4pip2s] =
= T^r-\2^s + m2)2 " 2PiP2<> - m2)].
(m/ -
Выразим 2pip2 через инвариантные переменные: t = (Pi -P2 f = ^m2 - 2pip2,
откуда
2pip2 = 2ra2 - t,
но 5 + t + u = 2га2, поэтому
2pi?>2 = 5 + U.
Окончательно, таким образом, имеем
f{s,u) = --^[(s + то2)2 - (s + u)(s-TO2)]. (2.109)
(mz - s)z
Член, соответствующий второй диаграмме, получается из (2.109) просто
заменой s на и. Действительно, вторая диаграмма получается из первой
заменой k\ -> - к2, fi заменятся на ту, что при усреднении не имеет
значения, a s -> (pi - к2)2 = и, т. е. вклад от второй диаграммы есть
просто f(u, s).
Аналогично вычисляется след от интерференционных членов, их,
соответственно, мы обозначим g(s,u) и g(u,s), причем
9т2
g(s,u) = --5--------------- -5--[4то2 + s - то2 + и - то2]. (2.110)
(то/ - s)[mz - и)
134
Глава 2. Частицы со спином 1/2
Итак, мы нашли, что
^Sp[(pi + то)М"й(р2 + rn)M^\ =
= [/0, u) + f(u, s) + g(u, s) + g(s, u)]e4. (2.111)
Сечение (2.102) с учетом (2.111) запишется
е4
da = - [f(s, u) + f(u, s) + g(u, s) + g(s, u)] x
x MP2 ~ m2)8+(kl)8(pi + fci - p2 - k2)d ' (2-H2)
Инвариантный поток, как и раньше, есть
J = 4poifcoi j. (2.113)
Для j также справедлива формула (1.165), хотя вычисляется несколько по-
иному:
|к|
j = |Ф(р1,ж)7Ф(р1,ж)| + -г =
к о
= \u{pi)iu{pi)\ | |ki| = Р! fci
2рю /сю Рю fcio '
т. е. с потоком все, как раньше.
Осталось вычислить фазовый объем. Сначала проинтегрируем (2.112) по d4p2
при помощи ^-функции. Получим
е4
dcr = - [f(s, u) + f(u, s) + g(u, s) + g(s, u)\ x
x 5+((p-k2)2-m2)6+(kl)^, (2.114)
где p = pi + fci, (p - k2)2 = p2 - 2pk2 + = s ~ %рк2.
Переходя в систему
центра масс, получим
5+((р - к2)2 - m2) = 8(s - 2ро&20 - rri2) = 5(s - 2Л/з&20 - ^2)- (2.115)
