Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
m^- = fn-i,n+fn,n+1. (4.7)
Обозначая вторую производную по времени через ип и учитывая
(4.6), получим
тип + р(2«„— fVi-^+i) =0. (4.8)
Решение уравнения (4.8) будем искать в виде
ип = (19)
где п — целое число; q — волновое число; со — циклическая частота.
Подставляя (4.9) в (4.8) и сокращая на j\el^an~№t)t находим
«2 = L(2—e-i4d — eiqa) =
т
= 2 А (1 — cos qa) = 4 A sin2 {Я— V (4.10)
т т \ 2 }
5 Зак. 312
65
со = 2 \fЛ_ у т
sin I —
. па
sin — Я
(4.10)
Здесь сот=2Ур/т и q = 2л/Х, X — длина волны.
Выражение (4.9) описывает бегущую волну. Одному и тому же абсолютному значению q соответствуют две волны, бегущие в противоположных направлениях, так как q может быть положительным и отрицательным. Частота колебаний атомов не пропорциональна волновому вектору волны, а связана с ним законом дисперсии (4.10). Эта формула не зависит от номера п, поэтому полученное решение справедливо для любого атома цепочки.
Если в (4.9) вместо q взять новое волновое число q' = q + 2л
-\---g, отличающееся от q на целое число g постоянных обрат-
а
ной решетки 2я/а (см. § 1), то получим функцию
(4.11)
тождественную ип, поскольку expi2ngn = 1. Поэтому можно ограничиться рассмотрением решения в первой зоне Бриллюэна (§ 2), где q изменяется в пределах
- — (4.12)
а а
Из (4.12) следует, что минимальная длина волны колебаний цепочки равна
^mm = 2л/</гпах = 2а, (4.13)
а максимальная частота
®тах = ®т = 2 V Р/т. (4.14)
Наличие предельной частоты колебаний и нелинейного закона дисперсии служит важным отличием дискретной линейной цепочки от непрерывной упругой среды.
Например, колебания ближайшего аналога линейной цепочки— струны описываются волновым уравнением [81]
д2и 2д2и -
“ Vo JT ’ (4Л5>
dt2 dr
где х — координата, v0 — скорость звука. Решение (4.15) имеет вид
и(х, /) = (4.16)
66
причем частота прямо пропорциональна волновому вектору
со = v0q (4.17)
и может принимать любые значения от 0 (для бесконечно длинной струны) до бесконечности. Поэтому в теории Дебая частота ограничивается сверху искусственным путем. Для цепочки конечной длины L длина волны должна иметь ограничение и сверху. Она не может быть больше Хт&х = 2Ь. В предельном случае на всей длине цепочки укладывается полволны, все атомы синхронно смещаются вначале в одну сторону, а потом в другую. Это ограничение длины волны можно получить и строго математически, если потребовать, чтобы выполнялись условия цикличности Борна — Кармана
un+N = ип, (4.18)
где N — число атомов на достаточно большом отрезке цепочки, либо это число всех атомов конечной цепочки, которая согнута в виде окружности, так что номера п и n+N относятся к одному и тому же атому.
Подставляя (4.9) в (4.18), находим
exp (± iqaN) = 1, q = — (4.19)
а N
где g— по-прежнему целое число, изменяющееся в пределах от —N/2 до N/2. Согласно (4.19), волновое число для цепочки конечной длины принимает дискретный ряд значений
9тг
q = —J.± 1, ±2, ±3, ..., +N12).
aN
Наибольшее значение длины волны Xmax = 2n/qmin=aN=L. Условие Борна — Кармана требует, чтобы на заданном участке цепи укладывалось целое число длин волн.
Фазовую скорость бегущей волны легко найти из условия постоянства фазы
qan — at = const. (4.20)
Отсюда скорость прохождения заданной фазы через точки ап равна
d (ап) со
v = ——- = — =2 dt q
V т q \ 2 /
(4.21)
где учтено (4.10). Можно показать [38], что скорость звука в рассматриваемом случае равна
I/-
? (4.22)
т
67
и, слёдовательно,
tqa
v = vn
sm [
2 71 (4.23)
qa
~2
С помощью (4.10) находим также групповую скорость волнового пакета [44]
vg =
dtй dq
= уо
qa
cos'
(4.24)
Для длинных волн, для которых qa!2 = ng/N < 1, фазовая и групповая скорости приближенно равны скорости звука: v—vg = = vo-
Таким образом, линейная цепочка атомов, несмотря на свою простоту, характеризуется двумя свойствами, присущими реальным кристаллам: частота колебаний атомов ограничена сверху и связана с волновым вектором нелинейным законом дисперсии. Незначительное усложнение этой модели позволяет разделить колебания решетки на акустические и оптические.
Линейная цепочка, состоящая из атомов двух сортов. Если около каждого атома рассмотренной выше линейной цепочки разместить атом другого сорта с массой т', то получится решетка с двумя атомами в элементарной ячейке. Номера новых атомов обозначим п'. Расстояние между соседними атомами п'—1 и п'. равно постоянной решетки а. Коэффициенты квази-упругих сил между атомами пип' обозначим (3, а между атомами п'—1 и п—рь
Тогда уравнения движения п-го и п'-ro атомов по аналогии с (4.8) представим в виде [38]:
тйп + р (и„ — tin) + PiK — un- 0 = 0, (4.25)
mu'n + P (un — un) + 0! (u’n — un+1) = 0.
Здесь по-прежнему учитывается взаимодействие только между соседними атомами: атом с номером п взаимодействует с п'—1-м и п'-м атомами, а атом п' — с л-м и л+1-м.
Если подставить в (4.25) уравнения бегущих волн с одинаковыми волновыми векторами q и частотами ю, но разными амплитудами
un = Aei(qan-mi\ йп = A’ei(qan-mt), (4.26)
получим после сокращения на exp [i (qan — oj/)J
