Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
74
Обозначения ветвей колебаний общепринятые: LO и ТО — продольные и поперечные оптические, LA и ТА — продольные и поперечные акустические. Сокращения образованы первыми буквами английских слов: optical — оптический, acoustic — акустический, longitudinal—продольный, transversal — поперечный.
Как видно из рисунка, в обоих случаях поперечные оптические и акустические колебания двукратно вырождены. В йодистом натрии оптические и акустические ветви разделены запрещенной зоной. В алмазе на границе зоны Бриллюэна в направлении [100] ТО и LA ветви перекрываются. Это связано с тем, что в элементарной ячейке кристаллической решетки алмаза находятся два одинаковых атома.
Фононы. Хотя решение уравнения движения атомов в кристалле в гармоническом приближении выражается формулой плоских волн типа (4.9), это не означает, что узлы решетки совершают простое колебательное движение с заданной частотой ю. В любом кристалле одновременно происходят колебания всевозможных частот и направлений распространения волн. Так как один и тот же атом участвует во всех типах движения сразу, то его траектория движения может быть весьма сложной. Для линейной цепочки вещественную величину смещения можно представить в виде [38]
ип = ^ {Aqei^an-e,q^+Afe-i^an-(?>qt)}=
<7
= -J=r ^ {aq&4an + (4.43)
^ <7
где a„ = y~N Aqe~iaqt\ A*, a*—величины, комплексно сопряженные Aq и а. Как видио из (4.43), смещение атома является слож-
ной функцией времени.
В теории колебаний молекул [85] и кристаллов движение частиц оказывается удобным представлять в некоторых обобщенных координатах, которые называются нормальнымн. Нормальные координаты выбираются так, чтобы уравнения движения, записанные в этих координатах, распадались на систему независимых уравнений типа
aq + wfoj = °- (4-44)
Ускорение частицы в нормальных координатах зависит только от значения этой же координаты. Следовательно, нормальные колебания полностью независимы. Если обычная координата ип дает положение и состояние движения л-го атома, то нормальная координата вместе с обобщенным импульсом отно-
сится^ко всему кристаллу в целом и характеризует колебательный процесс в этом кристалле с частотой С помощью нормальных координат колебания кристаллической решетки представляются как суперпозиция простых гармонических колебаний. Это обстоятельство фактически и выражено формулой (4.43). Поэтому aq можно рассматривать как нормальную координату. Если в кристалле содержится N атомов, то число нормальных координат будет равно 3N *).
Формально кристаллическая решетка заменяется набором гармонических осцилляторов, которые можно рассматривать не только в классической теории, но и в рамках квантовой механики. Из квантовой механики известно [44, 87, 88], что энергия гармонического осциллятора может принимать дискретный ряд значений:
Enq= (*q+ -~)b&V (4-45)
где п = 0, 1, 2...— целые положительные числа. В отличие от классической теории, согласно (4.45), минимальная энергия колебаний решетки не равна нулю, а выражается формулой
(4'46)
я
Эта так называемая энергия нулевых колебаний. Исследование волновой функции осциллятора при nq = 0 показывает, что она отлична от нуля в некоторой окрестности точки, соответствующей положению равновесия. Следовательно, «заморозить» неподвижно атомы кристалла в решетке невозможно даже при абсолютном нуле.
Поскольку колебательная энергия решетки может изменяться только отдельными порциями или квантами, то по аналогии с частицами света, фотонами, можно ввести понятие частиц колебательного движения — фононов. Энергия и импульс (точнее квазиимпульс) одного фонона сорта q равны соответственно ha>q и /iq, где q — волновой вектор плоской волны с частотой aq.
После этого воздействие колебаний решетки на движение электронов в кристалле можно описать как столкновение частиц — электронов и фононов, или электрон-фононное взаимодействие. Ангармонизм колебаний решетки и взаимное влияние одного типа колебаний на другой (ср. связанные маятники) на квантовомеханическом языке представляется
*> Более строго число колебательных степеней свободы равно 3N—6, так как на перемещение кристалла в пространстве и его вращение как целого приходится 6 степеней свободы.
76
как рассеяние фононов на фононах, или фонон-фононное взаимодействие. Ангармонизм колебаний атомов необходимо учитывать при изучении многих процессов и прежде всего теплопроводности кристаллов. Если бы фононы не рассеивались на фононах, то их скорость была бы равна примерно скорости звука. Тогда от нагретого участка кристалла тепло передавалось бы к его холодным частям со скоростью порядка « 105—106 см/сек. Из опыта известно, что распространение тепла в кристаллах происходит значительно медленнее. Одна из причин этого — фонон-фононное взаимодействие.
Как будет показано в дальнейшем, фононы играют первостепенную роль при некоторых механизмах поглощения и испускания света в полупроводниках.
§ 5. ЭКСИТОНЫ И ПОЛЯРОНЫ
Квазичастицы в твердых телах. Во многих физических процессах кристалл или его отдельные участки, содержащие большое число ячеек решетки, участвует как единое целое. Например, если твердое тело возбуждается внешним излучением, то наименьший диаметр пятна сфокусированного света будет порядка длины волны К. Для видимого света X = 0,4—0,8 мкм, что соответствует ~ 103 постоянных решеток. Поэтому нецелесообразно рассматривать по отдельности движение огромного количества молекул, атомов, ионов и электронов, входящих в состав кристалла. В теории твердого тела вместо этих частиц изучается движение различных квазичастиц: фононов, эксито-нов, поляронов, магнонов, плазмонов и т. д.
