Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
62
E = 3NAkT, где Na — число Авогадро. Отсюда следует теплоемкость СА грамм-атома:
WF,
С а = -----= 3 Na k = 3R » 5,94 кал/моль. (4.1)
dT
Здесь R = NAk— универсальная газовая постоянная.
Соотношение (4.1) известно как закон Дюлонга и Пти. Из него следует, что теплоемкость вещества не зависит ни от его химического состава, ни от его температуры. Для многих веществ этот закон подтверждался при комнатных и более высоких температурах.
Однако, как установил Камерлинг-Оннес, при понижении температуры наступает такой момент, когда теплоемкость тела начинает уменьшаться и стремится к нулю, если температура приближается к абсолютному нулю.
В 1907 г. А, Эйнштейн [76] сделал первую попытку объяснить температурную зависимость теплоемкости. Он пред-
положил, что, подобно электромагнитному полю, энергия колеблющихся атомов квантуется, т. е. может принимать дискретный ряд значений. Тогда средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы атома, будет выражаться формулой
Ё —
ehco/ИТ _ J ’ 2^
где Ьсо — величина кванта энергии. Отсюда для теплоемкости одного грамм-атома получается выражение
Ca = 3R\ kTl____ (4.3)
Согласно (4.3), для всех значений T>fra>/k теплоемкость практически не зависит от температуры и равна СА—3 R, что соответствует закону Дюлонга и Пти. Если же температура уменьшается от 7” = /ш/? до нуля, то С а убывает до нуля приближенно по экспоненте. Качественно теория Эйнштейна объясняла эксперименты Камерлинг-Оннеса. Было доказано, что в теории теплоемкости необходимо использовать представления о квантах энергии. В то же время обнаружилось и количественное расхождение теории с экспериментом: в области малых температур теплоемкость фактически убывает не по экспоненте, а как 74
Недостатки эйнштейновской теории были устранены Дебаем в 1912 г. и одновременно Борном и Карманом [77—79].
63
Рассчитывая теплоемкость, А. Эйнштейн приписал всем атомам решетки одну и ту же частоту колебаний. Поэтому если энергия частиц газа, окружающего кристалл, становилась меньше кванта энергии, kT<На>, то молекулы газа, сталкиваясь с поверхностью кристалла, не могли возбудить в нем колебаний и передать свою энергию. Теплоемкость резко падала.
Дебай рассматривал кристалл как непрерывную упругую среду, в которой могут распространяться акустические колебания со сплошным спектром частот, а средняя энергия колебаний удовлетворяет квантовой формуле (4.2). При понижении температуры в кристалле возбуждаются колебания все более низких частот.
Чтобы получить полную энергию колебаний в теории Дебая, выражение (4.2) умножается на функцию плотности состояний (число осцилляторов в интервале частот da) и берется интеграл по частоте. При этом верхний предел интегрирования ограничивается частотой, удовлетворяющей условию'
где 0 называется температурой Дебая. Величина 0 выбирается так, чтобы полное число упругих волн в кристалле, содержащем N атомов, было равно числу их степеней свободы 3N. Таким образом, в теории Дебая искусственно учитывается атомистическое строение вещества, хотя рассматривается непрерывная среда.
Для высоких температур из теории Дебая следует закон Дюлонга и Пти. В области низких температур в соответствии с 0пыт01М теплоемкость убывает по формуле
Температуру Дебая можно рассматривать как нижнюю границу, до которой справедлива классическая формула теплоемкости Дюлонга и Пти.
Количественное сравнение результатов теории Дебая с опытом показало, что они совпадают в широком интервале температур для кристаллов, на элементарную ячейку которых приходится только один атом. В таких кристаллах имеются только акустические колебания. Если же в элементарной ячейке содержатся два атома или более, то обнаруживаются расхождения теории с опытом. В этом случае возможны не только акустические, но и оптические колебания решетки, не учтенные в теории Дебая. Теория Борна и Кармана была полнее и точнее, так как в ней рассматривались не упругие волны,
hco = ?0,
(4.4)
(4.5)
64
а нормальные колебания всех ЗДГ степеней свободы атомов кристалла.
Современная квантовомеханическая теория колебаний решетки достаточно сложна и громоздка. Однако ее основные идеи и представления, необходимые для дальнейшего, можно выяснить на простых примерах.
Колебания одномерной решетки, состоящей из одинаковых атомов. Пусть кристаллическая решетка состоит из линейной цепочки атомов. В положении равновесия все атомы с одинаковой массой т расположены на одной линии на одинаковом расстоянии а друг от друга [38, 80]. Отклонение атомов из положения равновесия обозначим через ип, где п — номер атома. Величина ип>0, если атом сместился вправо от положения равновесия, в противоположном случае ыи<0. При небольших амплитудах колебаний силы, возвращающие атомы в положения равновесия, можно считать квазиупругими, т. е. пропорциональными величине отклонения. Тогда на п-й атом будут действовать силы со стороны (п—1)-го и (я-Н)-го атомов, соответственно равные
fn-i, п = - Р («„ - (4-6)
fn,n+1 = —Р(и„ —
где р > 0 — коэффициент квазиупругой силы.
Если учитывать взаимодействие только соседних атомов, то уравнение движения п-го атома будет иметь вид
