Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грибковский В.П. -> "Теория поглощения и испускания света в полупроводниках" -> 26

Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.

Грибковский В.П. Теория поглощения и испускания света в полупроводниках — М.: Наука и техника , 1975. — 464 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapoglosheniyaiispuskaniya1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 176 >> Следующая

71
колебания во всех направлениях можно свести к колебаниям в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
Гармонические колебания трехмерной решетки. Метод расчета, использованный при рассмотрении линейных цепочек, может быть применен и для изучения колебаний реальных кристаллов. Пусть кристалл состоит из большого числа N элементарных ячеек и в каждой ячейке содержится g атомов. Массы атомов равны тк, где номер атома k=l, 2, 3,.., g. Проекцию смещения k-ro атома п-й ячейки из положения равновесия на ось а обозначим через икпа- Индекс а = 1, 2, 3 и относится к трем осям координат х, у, г.
В гармоническом приближении предполагается, что колебания атомов по всем 3gN степеням свободы происходят независимо друг от друга и упругие силы, возникающие при смещении атома из положения равновесия, прямо пропорциональны величинам смещений Это условие выполняется тем лучше, чем меньше амплитуды колебаний, в чем легко убедиться, если представить потенциальную функцию кристалла в виде разложения в ряд по степеням «ла[38, 47, 77].
¦ Обозначая коэффициенты квазиупругих сил через рпп'аа- по аналогии с предыдущим, получим систему 3gN уравнений для такого же числа неизвестных икпа [83, 84]
. ?** = - 2(4.35)
n'ac'k’
Уравнения (4.25) входят в (4.35) как частный случай при k — 2, а =1. В этой системе уравнений, как и ранее, учитывается взаимодействие только ближайших атомов.
Решение системы ищется в виде бегущих волн:
Una = 4 (</) ен^Ш)- (4.36)
Переход к трехмерному случаю требует введения волнового век-тора в общем виде, где х — единичный вектор нормали
q = (4.37)
А
к плоской волне, длина которой равна к. Величины являются проекциями на оси х, у, г комплексной амплитуды колебаний &-го атома Ак.
Так же как и для одномерного случая, легко показать, что прибавление к волновому вектору q вектора обратной решетки bg, определяемого формулой (1.2), не изменяет волновую функцию
(4.36). Поэтому произведение qa можно рассматривать только в первой зоне Бриллюэна —я-Cqa ¦< я (см. (2.40а)).
72
Подставляя (4.36) и (4.35) и сокращая на exp[i(qa„—«><)], находим
юМ? = - 2р“:га,л‘'. =2 BZ’Ak;., (4.38)
п'a k я а
где
(4.39)
nf
Если ввести символы Кронекера и баа', равные единице при k' = k, а' = а и равные нулю при k'=?k, а'фа, то (4.38) можно представить в виде
2 [Я?а« - mk'aP&kk' б**.] Л?- = 0. (4.40)
Система SgN дифференциальных уравнений (4.35) свелась к системе 3g однородных алгебраических уравнений. Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю:
д11 - 2 oil г>11 п\2 nig
$хх Ш^СО ВХу Bxz &хх ’ ’ * &хг
В" В'у'у-ща* В" ВЦ . • • В\\
В" В" В"-щ<& ВЦ.-.ВЦ _
d21 1 р21 d22 о D^g
^A'-t &ху E$XZ ВXX ^2 * * * ^ЛГ2
fifi ВЦ Eft ¦ • • B\f—imjs?
(4.41)
Равенство (4.41) есть характеристическое или вековое *> уравнение степени 3g относительно квадрата частоты колебаний (О2.
В общем случае уравнение 3g степени имеет 3g различных корня, определяющих частоту колебаний как функцию волнового вектора (закон дисперсии): a>j = u>j(q), где у = 1, 2, 3... Геометрически зависимость от qy, qz представляется как гиперповерхность в четырехмерном пространстве. Форма этой поверхности зависит от симметрии кристалла, типа химической связи и числа атомов в элементарной ячейке. Сечение всех гиперповерхностей плоскостью в q пространстве изображается 3g кривыми линиями, форма которых зависит от ориентации секущей плоскости.
*> Вековое уравнение получило свое название в небесной механике, где оно встречается в задаче о вековых неравенствах в движении плаиет. Оио широко используется в теории колебаний молекул [85].
73
(Щ) то}
\ггг
full Iггг/
Рис. 17. Кривые дисперсии для колебаний решетки йодистого натрия (а)
и алмаза (б)
Учет симметрии кристаллов показывает, что некоторые ветви колебаний могут быть вырождены, тогда их общее число меньше 3g. Например, в линейной цепочке, состоящей из атомов двух сортов, поперечные акустические и оптические колебания двукратно вырождены.
Среди 3g ветвей колебаний 3 всегда принадлежат акустическим ветвям: одна продольная и две (или одна двукратно вырожденная) поперечные. Частота акустических колебаний кристалла юак, как и непрерывной упругой среды, стремится к нулю при <7~й) и в области малых значений q прямо пропорциональна q
®ак = сЙ<7> . (4-42)
где С (х) — коэффициент пропорциональности, зависящий только от направления вектора q. Если в элементарной ячейке кристалла (например, натрия, калия, рубидия) содержится один атом, то 3g=3 и никаких других колебаний решетки, кроме акустических, не будет. Это подтверждается на опыте [77].
Во всех кристаллах, для которых g>l, может быть 3g—3 оптических ветвей колебаний. Полупроводниковые кристаллы элементов IV группы (алмаз, кремний, германий, серое олово) имеют кристаллическую решетку типа алмаза, а соединения AinBv AnBVI — типа цинковой обманки. И в том и в другом случае на элементарную ячейку приходится два либо одинаковых, либо разных атома. В,таких кристаллах будет
3 акустических и 3 оптических ветви колебаний.
На рис. 17 приведены экспериментальные кривые дисперсии для колебаний решетки йодистого натрия и алмаза [86].
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed