Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ni = (NcNv)1/2e~Ee/2kT. (3.26)
Введение примеси в кристалл приводит к резкому смещению уровня Ферми. Однако если F лежит по крайней мере
на 2 kT ниже дна зоны проводимости, но выше потолка ва-
лентной зоны, то полупроводник можно считать невырожденным и пользоваться формулами (3.9) и (3.10). Это означает, что в невырожденном полупроводнике, находящемся в состоянии термодинамического равновесия, всегда справедливо равенство:
пр = П;. (3.27)
Как видно из (3.27), путем введения примеси нельзя одновременно повысить концентрацию электронов и дырок: увеличение п неизбежно приводит к уменьшению р и наоборот.
57
Поскольку формулы (3.17) и (3.19) справедливы как для собственного, так и для примесного полупроводника и отличаются только значением ?, то имеют место равенства:
p = pi (3-28) Р\/2 (Si) F1/2 (— ?г — eg)
где С; и ^ — значение для собственного и примесного полупроводника, eg — Eg/kT.
При отсутствии вырождения интегралы Ферми — Дирака можно заменить экспонентами, а из (3.28) следует
п = л,ехр(? —?,); /? = п,ехр(?{ —?). (3.29)
Формулы (3.29) широко используются для практических целей. Поскольку вырождение по электронам и дыркам одновременно почти никогда не наступает, одна из этих формул остается справедливой, даже если уровень Ферми заходит в зону проводимости или в валентную зону.
Фактор спинового вырождения примесного уровня. При рассмотрении примесных полупроводников следует иметь в виду, что для электронов, связанных с примесными центрами, не выполняются исходные предположения, при которых получается фермиевское распределение. Поэтому, строго говоря, функция Ферми — Дирака неприменима к электронам примесных центров. Одно из условий применимости фермиев-ского распределения требует, чтобы энергия одноэлектронного состояния не зависела от распределения электронов по состояниям. На примере полупроводника, в котором донором служит атом одновалентного металла, легко убедиться, что это условие не выполняется.
Действительно, валентный электрон такого атома обладает двумя квантовыми состояниями, соответствующими двум ориентациям спина. Однако если одно из этих состояний занято, то энергия второго возрастает и может оказаться в зоне проводимости. Аналогичная ситуация имеет место и для акцепторных уровней. Поэтому при строгом рассмотрении распределения частиц по примесным центрам следует пользоваться более общей статистикой Гиббса [2, 74].
Если пренебречь возбужденными состояниями нейтральных и ионизированных примесей, то вероятность заполнения донорного уровня можно представить в виде
и?*)=—врг----------, (3.30)
бе кт
где 8=f/g— фактор вырождения донорного уровня, равный отношению кратности вырождения основного состояния ион-
.58
ного остатка / к кратности вырождения основного состояния нейтрального атома g.
Состояние атома одновалентного металла двукратно вырождено, т. е. g = 2. После потери валентного электрона основное состояние ионного остатка становится невырожденным, f= 1. Следовательно, если донорами служат атомы одновалентного металла, то 6=1/2. Для атомов двух- и трехвалентных элементов имеем соответственно f=2, g= 1, 6=2 и /=1, g' = 6, 6=1/6. Пятивалентные донорные примеси элементов
V группы в полупроводниковых кристаллах типа Ge и 'Si характеризуются значением 6 = 1/2.
Все рассуждения, приведенные для электронов на донор-ных уровнях, справедливы по отношению к дыркам, находящимся на акцепторных уровнях. Так, в случае акцепторной примеси элементов III группы в полупроводниках четвертой группы, вероятность заполнения акцепторного уровня дыркой равна:
/Л(?о) = т*----------, (3.31)
-g-e кт +1
где 6 = 1/2. В тех случаях, когда 6 неизвестно, обычно полагают 6=1.
Смещение уровня Ферми при легировании полупроводника.
В собственном полупроводнике при температуре абсолютного нуля уровень Ферми находится в центре запрещенной зоны. Введение примеси в кристалл может на несколько порядков изменить концентрацию электронов или дырок, что неизбежно изменит положение уровня Ферми. Для выяснения общих закономерностей рассмотрим несколько частных случаев, когда уравнение электронейтральности допускает аналитическое решение.
Пусть в полупроводник введено небольшое количество до-норной примеси. Очевидно, концентрация электронов в зоне проводимости от этого может только возрасти, поскольку энергия ионизации доноров AE-E^—Е& значительно меньше ширины запрещенной зоны. Не накладывая никаких ограничений на положение уровня Ферми F относительно Ed, предположим, что полупроводник остается все же невырожденным, т. е. Есо—F^>kT. Кроме того, пренебрежем концентрацией дырок в валентной зоне р = 0. Сделанные предположения выполняются при достаточно низкой температуре.
Полагая в (3.5а) p = pa = Na = 0 и учитывая (3.30), приходим к следующему уравнению нейтральности:
nJrnd~Nd,
59
или
ВД/2 (?) = Nd [б exp (? + Aed) + I]'1, (3.32)
где по-прежнему ? = (F = Eco)/kT, Aed = AEd/kT. При сделанных предположениях Fi/2(l) = exp (?), a (3.32) переходите квадратное уравнение относительно exp ?:
Если Т -*¦ 0, то самым большим будет последнее слагаемое в квадратных скобках, и, следовательно:
