Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Участие экситонов в поглощении света, рекомбинационном испускании, нелинейных оптических явлениях и генерации света в полупроводниках будет рассмотрено в соответствующих параграфах. Здесь мы обсудим только вопрос об энергетическом спектре экситонов Ванье — Мотта.
Трансляционное и внутреннее движение экситонов большого радиуса. Если электрон и дырка находятся на расстоянии, значительно превышающем величину постоянной решетки, то приближенно можно считать, что между ними действует сила кулоновского притяжения, ослабленная в е раз, где е — диэлектрическая постоянная кристалла. Смещение тяжелых ядер и поляризацию кристалла, вызванную движением электрических зарядов в первом приближении, можно не учитывать.
Обозначая радиусы-векторы электрона и дырки через ги и гр, а их скалярные эффективные массы через тп и тр, урав-
79
нение* Шредингера для'такой системы можно представить в виде [38]
h2 2______h2^ 2 _ е2
2тп Vrt 2mv Vp e|rn—гр|
Y(rn, гр) = ?'?(гп, гр).
(5.1)
Здесь Vn и Vp — операторы Лапласа в координатах электрона и дырки. Чтобы исследовать движение экситона как целого и внутреннее движение электрона относительно дырки, уравнение Шредингера необходимо переписать в новых координатах.
Положение электрона и дырки в пространстве будет однозначно определено, если задать радиус-вектор их центра тяжести [103]
т„гп + т г„ т„г + m.r„
. п п 1 Р Р п П ‘ Р Р /д 2)
тп-\-т М
и положение электрона относительно дырки
Р = гп — (5-3)
где М=тп+тр.
Обозначая проекции векторов гп, г., R и р на оси х, у, г через rni, rpi, Rt и р; и учитывая (5.2) и (5.3), находим
di|j di|j dR <3i|) dpt _ mn д\|з ch|} '
d2i|> fmn \2 <32гр О д2Ц
drni \ М ) dRj R dRtdpt
<32г|з , ( тр" \2 д2г|) 2 тР d2i|5
К м ; 1 dR2 М dRtd рг
(5.4)
drni . dRt drni Ф( drni M dRt dPi
а2г|;
‘ -л 2 9
opt
+ w
Вводя приведенную массу экситона |л
у- = . (5-5)
с помощью (5.4) из (5.1) получим
f h2 6^ 1 “*¦
-йг^- 4-V2p-— hF(R, р) = E W (R, р), (5.6)
2 М 2(л р хр J
где и —операторы Лапласа в новых переменных.
Будем искать волновую функцию в виде произведения двух функций
^ (R,~P) =^(R) Ф (р)> (5.7)
80
одна из которых зависит только от радиуса вектора центра тяжести экситона, а вторая -- от положения электрона относительно дырки.
Если подставить (5.7) в уравнение (5.6), а затем разделить
его на \|)(R)cp(p), то получим уравнение
h2
2ЛВД) ф(р)
_ Урф(Р) н----------Ф(Р)
2ц ер
Е\ (5.8)
первое слагаемое которого зависит от R, а второе — от р. По-¦—>*
скольку R и р независимые переменные, а Е = const, то (5.8) будет выполняться только в том случае, если оба слагаемых по отдельности будут равны постоянным величинам
V^(R) + ^(R) = 0, (5.9)
-^Vp + —У<р(р) = —?<р(р), (5-10)
2|л м ер /
где & = 2MW!b\ W+E=E'.
Уравнению (5.8) удовлетворяет функция ^(R) = Аеш. А временному уравнению Шредингера, соответствующему (5.9), будет удовлетворять функция плоской волны [44]
ф (R, t) = №<МВ.-Ш)ш (5.11)
Следовательно, трансляционное движение экситона как нейтральной квазичастицы в кристалле описывается плоской волной. В этом он похож на другие квазичастицы: фононы,
плазмоны, магноны.
Энергия свободного движения экситона равна
r==ji!*1 = (5.12) 2М 2М
Здесь p-hk— величина импульса движения центра тяжести. На волновой вектор k не накладывается никаких ограничений, кроме тех, которые вытекают из условия периодичности Борна — Кармана для функции ip (R, t) = (R+Na, t) (см. §2, 4). Это означает, что энергия движения экситона как целого принимает практически непрерывный ряд значений.
Уравнение (5.10) совпадает с уравнением Шредингера для водородоподобных атомов, если |л считать приведенной массой электрона, а е/Уе — эффективным зарядом ядра. Это уравнение имеет решение для дискретного набора значений энергии [44]:
6. Зак. 312
81
* не* F°
En = — 2h2e2raa = ~~ IF ’ (5ЛЗ)
где /г — целое число;
?S = -^r- = ( -±r-V/? = f-yT>l • 13-6 да (5.14)
2h2e2
— величина, имеющая физический смысл постоянной Ридберга R = me4/2h2 = 13,6 эв и численно совпадающая с ней при е = 1 и ц.=т; т—масса электрона в вакууме.
Если в формуле (5.13) заменить эффективную массу экситона на эффективную массу электрона, то она совпадает с выражением (2.50), определяющим положение неглубокого донорного уровня. При изменении п от 1 до оо значения Еп возрастает от —Еэ до 0. При больших энергиях экситон существовать не может и диссоциирует на свободный электрон и дырку. Поэтому Е°э можно рассматривать как энергию ионизации или связывания экситона.
Складывая (5.12) и (5.13), получим полную энергию экситона
?;-?«-# + w- <5-15>
Хотя экситон как система двух частиц не укладывается в рамки одноэлектронной зонной теории (§ 2), условно его энергетический спектр можно совместить с диаграммой зон для одного электрона. При этом пренебрегая вторым слагаемым в (5. 14), основной уровень экситона изображают под дном зоны проводимости на глубине ?э° (рис. 18).
Поскольку экситоны перемещаются по кристаллу и имеется статистический разброс скоростей, то их уровни энергии нельзя считать резкими. Каждый уровень обладает конечной шириной тем большей, чем выше температура кристалла. Это проявляется в температурной зависимости ширины полос поглощения и люминесценции экситонов (§ 7). Однако при образовании экситонов в результате поглощения света в прямозонных полупроводниках импульс движения центра тяже-f сти экситона может быть весь-
