Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
g(E>=ly(iF(i^rexp<-w>' (2-59)
Согласно (2.59), в запрещенной зоне функция плотности состояний, возникших в результате сильного легирования полупроводника, переходит практически в крыло гауссовой кривой ехр(—Е2/ц2) (рис. 12, г). При вычислении интеграла (2.58) учитывалось, что для ?<—rj подынтегральная функция существенно отлична от нуля только в окрестности точки ?= = —\Е\/ц, и использовалось приближенное равенство: Е2/ц2—
-12 = 2\Е\{\ЕЦч+1)Ы-
Несколько иные выражения для функции плотности состояний хвостов даны в работах [57, 64—69]. Результаты, полученные различными методами, сравниваются в работе [70].
§ 3. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Функция Ферми—Дирака. Распределение частиц по энергетическим уровням может быть описано одной из следующих трех функций:
а) Максвелла — Больцмана /м-б = Ае~Е/кТ, (3.1)
б) Бозе — Эйнштейна /Б_э = (Е-ЕЬ!/кт_ j ¦ (3-2)
в) Ферми —Дирака /Ф-Д = (?_f)/*r—-. (3.3)
в 1
Здесь Е — энергия уровня; k — постоянная Больцмана; Т — температура.
Функция Максвелла — Больцмана была получена для классических частиц, которые можно считать различимыми. Постоянная А находится из условия, что сумма частиц на всех уровнях системы равна некоторому заданному и неизменному числу N. Распределение квантовомеханических частиц с нулевым или целым спином описывается функцией Бозе — Эйнштейна. Параметр Еъ также определяется из условия нормировки. При рассмотрении фотонов и фононов, число которых может не сохраняться, Еъ полагают равным нулю.
В случае электронов, протонов и нейтронов, обладающих полуцелым спином и подчиняющихся принципу Паули, используется функция Ферми — Дирака, причем входящую в нее
4*
51
величину F называют энергией, или уровнем Ферми. Поскольку в дальнейшем в основном будет рассматриваться только эта функция, мы будем обозначать ее через fe(E) без индексов
ф-д.
Характерно, что вид функции fe(E) не зависит от свойств системы, а зависит только от температуры. Конкретные свойства системы отражаются лишь на положении уровня Ферми. Подставляя в (3.3) E — F, получим fe(F)~ 1/2, т. е. вероятность заполнения уровня Ферми, если ему соответствует реальный уровень энергии, при всех температурах равна половине. Если Т=0, то все уровни энергии, лежащие ниже F, заполнены, а все уровни с E>F пусты. Функция fe(E) имеет ступенчатый вид (рис. 13). С увеличением температуры возникает плавный переход от заполненных к незаполненным уровням энергии.
При движении от F в сторону меньших или больших энергий скорости роста или убывания fe(E) равны, так что всегда fe(F—AE)+f,(F + bE) = l. Для AF = 2kT, f,(F—ДЕ) =0,88, a fe(F+AE) =0,12. Следовательно, интервал энергий, в котором fe(E) изменяется практически от 1 до 0, будет порядка 4kT (рис. 13). Если Е—F^$>kT, то единицей в знаменателе (3.3) можно пренебречь, а функция fe(E) переходит в функцию Максвелла—Больцмана (3.1) сЛ = ехр (F/kT).
Вероятность отсутствия электрона на уровне с энергией Е fh(E) можно представить в виде
fh{E)=\-fe(E)=-^—. (3.4)
е кТ +1
Это и есть функция распределения для дырок. Сравнивая ее с (3.3), легко еще раз убедиться в полной аналогии между
положительными дырками и электронами. Различие между ними состоит лишь в том, что при переходе от электронов к дыркам необходимо изменить направление отсчета энергии на противоположное.
В многофазной системе, находящейся в термодинамическом равновесии, все компоненты си-
Рис. 13. Функция Ферми—Дирака (сплошные кривые) и ее производная (пунктирные кривые) при Т=0 (1) и Т= =290 °К (2)
52
стемы характеризуются одним и тем же значением уровня Ферми, называемого также иногда электрохимическим потенциалом. Изоэнергетическая поверхность в пространстве квазиимпульса р, удовлетворяющая условию E(p)=F° и отделяющая занятые состояния от незанятых при температуре абсолютного нуля, называется поверхностью Ферми. Здесь через F0 обозначено значение F при Т=0 [48].
Уровень Ферми в собственном невырожденном полупроводнике. Положение уровня Ферми в системе зависит от свойств этой системы и температуры. Оно может быть теоретически рассчитано только в том случае, если известна плотность состояний как функция энергии g(E). Исходным условием для нахождения значения F служит уравнение электронейтральности [71]:
n-\-Na = р + iV+. (3.5)
Здесь п — общее число электронов в зоне проводимости; р — число дырок в валентной зоне; — концентрация акцепторов, присоединивших к себе электроны и превратившихся в отрицательные ионы; N+- концентрация ионизированных доноров.
Так как концентрация нейтральных доноров совпадает с числом электронов на донорных уровнях пц = Nj и аналогично ра = №а, то (3.5) можно представить в виде
(п -\ п„) — (р + ра) = Nd — Na, (3.5а)
где Nd и Na—полные концентрации доноров и акцепторов.
В общем случае уравнение (3.5) является трансцендентным и его решения находятся путем численных расчетов. Остановимся более подробно на выяснении некоторых характерных закономерностей.
Рассмотрим собственный полупроводник (Na = Na = 0) при температурах, удовлетворяющих условию Eg^>kT, где Eg=E’c0~Evo — ширина запрещенной зоны; fco и Ev0 — дно зоны проводимости и потолок валентной зоны соответственно. Тогда (3.5) переходит в равенство n,i — pi, где
