Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
00
«1= i Se (Ес) !е (Ес) dEc,
ЕС0
Есо
Pi= jsh(Ev)fh(Ev)dEv, (3.6)
—00
индекс I указывает на то, что полупроводник собственный. Хотя зона проводимости и валентная зона имеют конечную
53
ширину, пределы интегрирования можно расширить, поскольку fe{E) и fh(E) быстро убывают при движении от Есо вверх и от Evо вниз.
Как будет видно из дальнейшего, уровень Ферми лежит глубоко в запрещенной зоне, поэтому можно воспользоваться классическим приближением распределения Ферми — Дирака:
и СЕс) = e~iE^)/kT, fh (Ev) = eiEv~Fi)/kT. (3.7)
С другой стороны, в окрестности Есо и Ev0 плотности состояний на основании (2.21) в расчете на единицу объема можно представить в виде:
1 / 2/72 \
(Е'-Е-У'’ (3.8)
1 /2т,Л3/2 „ л/2
Sh{Ev) 2я2 U2 / {Ev° Ev)
где тс и mv — эффективные массы носителей заряда в зоне проводимости и валентной зоне.
Подставляя (3.7) и (3.8) в (3.6), путем введения новых переменных Ес = Ес — Есо, Ev — Evо — Ev интегралы легко свести к табличным. В результате будем иметь:
1 /2mc\3/2^V“ _ -Е'/ктлс, нйг2 /о q\
' ~ ж [~?) \ iE- = N,e ’' '
ftT
(3.10)
Здесь введены эффективные плотности состОйний в зоне проводимости Nc п в валентной зоне Nv:
Nc = 2 ( т°—- У72, Nv = 2 f V/2, (3.11)
v 2nh2 } {2пЬ\1 У ’
причем Nc /Nv = (mc //nK)3/2.
С учетом (3.9) и (3.10) уравнение нейтральности принимает
вид
Nce кТ = Nve kT . (3.12)
54
Логарифмируя его, находим
-|<?..+*..>+1 от "|=
= 4 (Ел + ?„)+4-M-ta—”. (3.13)
2 4 тс
Согласно (3.13), если Т=О, уровень Ферми в собственном полупроводнике расположен в середине запрещенной зоны. С ростом температуры он поднимается вверх, поскольку обычно mv>mc. При обратном неравенстве mc>mv второе слагаемое в (3.13) имело бы отрицательный знак и, следовательно, уровень Ферми понижался бы с увеличением температуры.
Если полупроводник находится в таком состоянии, что распределение электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне может быть описано функцией Максвелла — Больцмана, то он называется невырожденным. Если же классическое приближение неприменимо, то полупроводник называется вырожденным *>. Условием отсутствия вырождения служат неравенства:
( Есо .— F \ ,
для электронов, ехр ------- >1,
\кТ) (3.14)
(F—E0о \ .
для дырок ехр Г——— I > 1.
Выполнение (3.14) означает, что эти неравенства справедливы для всех энергий зоны проводимости и валентной зоны, а единицей в знаменателе (3.3) можно пренебречь. Таким образом, в невырожденном полупроводнике уровень Ферми находится на расстояниях, больших kT, от потолка валентной зоны и от дна зоны проводимости.
Интегралы Ферми — Дирака. Если полупроводник вырожден, то число электронов в зоне проводимости дается выражением:
2тс \3'2
X
X
J ge(Ec)fe(Ec)dEc = JL|
ЕС9
00
f (?, - ----¦ (3.15)
1 Ч^+1
В квантовой механике термин «вырожденный» применяется по отношению к энергетическому уровню, которому соответствует несколько квантовых состояний. В теории твердого тела этот термин означает, что теплоемкость в расчете на один электрон «вырождается», т. е. зрачительно меньше ее классического значения, равного 36/2.
55
Ввод# безразмерные величины
х~(Ес — Ec0)/kT,
(3.16)
k =(F-Ec0)ikT,
вместо (3.15) будем иметь где
-(^Гг........, (3-18)
x>dx
Г(/ fl)J е(
о_
—интегралы Ферми—Дирака; Г—гамма-функция, причем Г(3/2) =
= V J*/2.
Аналогичным образом легко убедиться, что
р = ВД/2(у, (3.19)
где при термодинамическом равновесии
?„ = (Ev0— F)lkT = - ?е - EglkT. (3.20)
Таким образом, уравнение нейтральности /г = р для собственного полупроводника в условиях вырождения можно представить в виде
Fi/2 ас ) = (“]3/2/71/2 (- Sc - ?Я/*Л. (3.21)
Для решения (3.21) необходимо знать интегралы Fj(t,). В книге [71] приведена таблица Fj(?) для целых и полуцелых значений / от —3/2 до 4 в интервале изменений ? от —4 до 10 через 0,1. Значения тех же интегралов для —4^ ?=^20 имеются в [72].
Для промежуточных значений аргумента интегралы Ферми— Дирака с точностью до четвертой значащей цифры рассчитываются по формуле [71]:
F, (?0 + АС) = F} (So) + AtfVx (U) +
+ -^(A?)*F,_,(?o). (3.22)
Наоборот, если необходимо найти величину аргумента ?„ + At, соответствующую нетабулированному значению интеграла Fj(Z + -г А^), то можно воспользоваться выражением
56
?0 + д; = ?0 +
Fji^ + AQ-FjjQ
р,-i(g
^-«(Со)[^(?о + А?)-^(?о)]8
2[/=Vx(Q13
(3.23)
Для более быстрого, но менее точного решения уравнения электронейтральности применимы различные графические методы [72, 73]. Приближенно (3.21) иногда может быть решено аналитически с помощью формул аппроксимации для интеграла Fx^it). С точностью до ±3% справедливы равенства Г71]:
&
?<1,3
F\/2 (С)
1 + 0,27
4?3/2 Г «2 1
1
Ж
(3.24)
, ? >1,25.
Если ?<—2, то ошибка первой аппроксимации составляет доли процента и стремится к нулю с уменьшением a Fil2CO^~es. Ошибка второго приближения быстро убывает с ростом ?, составляя около 1 % для ? = 4.
Произведение Поро. В случае собственного невырожденного полупроводника, согласно (3.9) и (ЗЛО), имеем
Evo~Eco
П.р. = п\ = NcNve kT = NcNve~Es/kT, (3.25) откуда следует:
