Теория поглощения и испускания света в полупроводниках - Грибковский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(Р + fc - шг) А = ф + f>te-iqa) А', (4.27)
(р + ^eiqa) А = (р + рх - т'аг) А'. (4.28)
68
Разделив (4.27) на (4.28), приходим к биквадратному уравнению относительно ю
®4 - (Р+Pi) ®2+4 -%sin2 ('=°- (4-29)
тт тт \ 2 /
Если ввести обозначения
2 1 /а , d I 2 it PPi тт'
®о=—, (Р + РЖ/л + m ), y2= 16 —i—
mtn (Р + Pj) (т -]- т )
то решение (4.29) можно представить в виде
2 I 2 ©1,2 = — Юо 2
1±|/ 1— y*s\n*(aq
(4.30)
При любых значениях отношений р/р' и т/т' величина 7^1, поэтому формула (4.30) дает два вещественных значения частоты колебаний для каждого значения волнового вектора q. Если q стремится к нулю, то шj—^соо, в то время как (л)2—*"0 (рис. 15). По этому признаку все типы колебаний кристаллической решетки делятся на оптические (ш^шо) и акустические (<йг-*-0), а кривые дисперсии соответственно называются оптическими и акустическими ветвями колебаний.
Как видно из (4.30), при всех значениях параметров частота оптических колебаний Ю] больше частоты акустических колебаний юг. При малых q различие особенно велико, а при больших q частоты <ai и юг сближаются.
Однако различие между оптическими и акустическими типами колебаний не сводится к количественно разным значениям частот и Оно лежит глубже и связано с качественно. разным характером самого колебательного процесса. Это становится очевидным при рассмотрении некоторых частных случаев.
Рис. 15. Кривые (ветви) дисперсии для оптических wi и акустических (о2 колебаний линейной цепочки, состоящей из атомов двух сортов
69
Согласно (4.26) и (4.27), отношение смещений соседних атомрв, принадлежащих к одной элементарной ячейке, равно
ип А _ р + he~iqa
ип A' (P+Pi) — гт?
(4.31)
Для предельно длинных волн q = 2п/к -> 0, exp (— iqa) —> 1, о^-»-->ю0 == (р + Pi)(m + т')/тт', (о2 -> 0. Подставляя в (4.31) значения параметров, получим для акустических и оптических колебаний соответственно
м” ^ 1, (4.32)
\ ип /оп т
ип
ак
Из (4.32) следует, что в бесконечно длинной волне акустических колебаний все атомы движутся синхронно вправо или влево и смещения из положения равновесия для всех частиц равны. Синхронность смещения всех атомов одной элементарной ячейки сохраняется и для более коротких волн акустических колебаний. Это характерно для колебаний звуковых волн. Поэтому такой тип колебаний назван акустическим. При оптических колебаниях атомы одной ячейки либо движутся навстречу, либо удаляются друг от друга, а центр масс ячейки остается неподвижным, так как ипт + и'пт' = 0. В этом случае может происходить электрическая поляризация кристалла и возникнуть переменный дипольный момент, приводящий к поглощению или испусканию электромагнитных волн инфракрасного диапазона. Это послужило основанием назвать указанные колебания оптическими. Однако в принципе, если кристалл состоит из нейтральных атомов, оптические колебания могут и не сопровождаться появлением электрического дипольного момента.
Рассмотрим теперь отношение отклонений (4.31) в случае предельно коротких длин волн, для которых к = 2а, д=2л/к = п/а, ехр(—iaq) = 1. С учетом (4.30) формула (4.31) преобразуется к виду
(Р — РЖР + Pi)-1 (4.33)
Ия 1 т + т
2т'
1+ i/l_16 Jfo—.../У”-
l±V (Р + Pi)2 (т+т')2
Если Р = Рь то числитель равен нулю, а знаменатель либо обращается в нуль, либо равен (т'—т)/т'*1. Он отличен от
*) Из двух значений корня У(т—т')2 всегда берется положительная величина, так как ее знак в явном виде учитывается в (4.33). Поэтому У(/?г—т')2=т—т', если т>т', и равен У(/я—т')г=т'—т, если т<т'.
70
нуля для оптических колебаний, если т>т', а для акустических при m<m'. Следовательно, при оптических колебаниях тяжелые атомы неподвижны, а колеблются легкие атомы. В акустической волне наоборот, смещаются тяжелые атомы, а легкие неподвижны. Такой же результат получается, если рассмотреть случай, когда знаменатель обращается в ноль и необходимо раскрывать неопределенность 0/0 [38].
В другом частном случае, когда т = т', а Р>Рь из (4.33) -находим
и, следовательно, в оптической волне с наименьшим значением К атомы движутся в противофазе, а в акустической волне — в фазе.
Численные оценки показывают [80], что частота акустических колебаний изменяется от 0 до 1013 гц и только незначительная их часть (<й« 102—104 гц) приходится на звуковые волны.
Рассмотренные оптические и акустические колебания называются продольными, потому что смещения атомов в них происходит вдоль направления распространения волны. Кроме продольных имеются и поперечные колебания, при которых атомы смещаются по направлениям, перпендикулярным к направлению распространения волны. Так же как и продольные, поперечные колебания делятся на оптические и акустические [82]. При оптических колебаниях атомы одной элементарной ячейки движутся в противофазе, в акустических колебаниях они смещаются синхронно (рис. 16). Поперечные
©-Gb©-©-0HЗм±КЕнЗН5к±н© а ®-ее-нэ©-еч±)©-€иэ-€ье ь ©—6>—5>-6
г
д
Рис. 16. Типы колебаний линейной цепочки: а — цепочка в положении равновесия; б—'Продольные оптические колебания; в — продольные акустические колебания; г — поперечные оптические колебания; <3 — поперечные акустические колебания
