Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
(5.4)
221
Отсюда найдем
t = ~Xll ic (хГ) ~ V+ Ту№ + С<*' у№' (5-5) I
где С(х, у)-некоторая функция л: и у.
С другой стороны, изображение в силу однородности степени а = -1
удовлетворяет равенству:
Р\ + P-у + 5
~------ = -А •
1
2 dp,
ds
Изображение Лапласа-Фурье первых двух слагаемых в правой части (5.5)
согласно свойствам преобразования Лапласа и формулам (2.52) и (5.6) имеет
вид
К
"]Г~/
-(*Г) + -(уГ)
ду
LF
ds =
00 г
= /
дГLF 7i дР{ + др2
= P2, S) - lim srLF(pv р s) = srLF(pv р ,
s) + 1, (5.7) 1
S •* 00
lim
s) - -1.
Равенство (5.5) в пространстве изображений с учетом (5.7) обращается в
следующее:
srlf = sr^+ 1 + cF(pvp2).
Отсюда находим, что CF(pv р2) = -1, С(х, у) = -д(х, у), и произ- | водная
Г определяется так:
Г = -г"1
.-1 д
+ вх (*Г) " т+ а^(уГ) -д(х>у)д(?)-
(5.8)
Подставляя (5.8) в выражение (5.2), получим следующее представление для
контактных напряжений:
д2и,
д2и"
•W*'"= г"*,<*• *') - * (f:г) - *1' (? г)• (5-9)
Носителем функции и30(х, у, т) = w3(x, у, t)H(D) является трехмерная
область D с граничной поверхностью сW (рис. 5.1). При этом функция ш3 в
случае контактной задачи определяется
соотношениями (3.9). Используя правило дифференцирования
222
Рис. 5.1. Носитель D перемещений в пространственной задаче
обобщенных функций, сосредоточенных в области [39], аналогично (3.38)
получим
"зо(*' У' т) " ^х' у' т)н(°) + dD cos т) SdD =
= w3(x, у,
t(H)D),
d2u (х, у, х) dw д
Hsfa------------17"<В> +to <|шз1а0"* (".')¦>."") +
dw.
+ [w3] 9D cos (я, x) дйП = TKH(D)-iv,
dD QD
dD
COS (tt, x) S
dD'
(5. 10)
д"30(х, У, Г)
дУ
дт ду
H(D) - w
c°s (л, У) ddD,
BD (r)3 I BD'
где cos (я, r), cos (л, x), cos (я, у)-направляющие косинусы вектора
внешней нормали п к поверхности 3D, а остальные обозначения такие же, как
в (4.11).
Подставляя (5.10) в формулу (5.9), получим следующее интегральное
представление для контактных напряжений:
/
стззо(*'Л т) = У> т)я(т)я(й) - / Л//
0
Q(f)
* -
, У-^2 д{°3 х -t dL
X - t
цх -ivy- i2, х -1) dix d%2 +
+
223
+tf
9D.
X~h v У~%2
-J-Y cos (n, |j) + -- cos (n, ?2)
X
X Г(* - Ij.y - l2, T - 0w3(|j, ?r t) dS. D = {(*, у, r)I(x,
y) G Q, т > 0},
s
i
cos(n, I)
= cos (n, I )
dD. z
(5.11И
aDo - "L^ si,i =
lsu?
Формулу (5.11), с одной стороны, можно рассматривать решение
соответствующей динамической задачи теории упру: для полупространства х3
> 0 при заданных нормальных перемещениях на подвижной области Q(r) в
плоскости х- = 0. С другой'
Ч
стороны, по формуле (5.11) можно определить контактны^ напряжения после
решения соответствующей задачи по вычислению кинематических характеристик
ударника
Покажем, что из представления (5.11) можно получить как частный
случай решение для соответствующей плоской задачи] (4.12). При этом
перемещения и напряжения не зависят от у, Q-бесконечная полоса, a dDx-
цилиндрическая поверхность
направляющей кривой L{ = Lr U L( в плоскости тх и образующими,!
параллельными оси Оу.
аззо = сгззо(*'т)' W3 = т)' Q х R'
D = {(*, У, G [ар а^, у G R, т > 0}, cos (я, у) = 0. Тоща из (5.П)
получим
^ззоО, *) = т)Я(т) [Я(х - а() - Н(х - а)] -
(5.12)
* *wi
f*< S IT
0 Off)
+ f w3(i, t) cos (n, ?)Г2(х - ?,t - t) dl, ? = ?j,
Г2(д:, т) = / Г(х, у - |2, T)<%2 = f Г(х, у, r) </y, - 00
