Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
Тоща из формул (5.43) с учетом (5.46)-(5.48) при к = 1 для интеграла 1$
вытекает следующее представление (IrmI s.
roi < ri):
/ (г, t) = Я(г2(т))
12
Я(т-1г 1)Я(г01-т) / F (t)dt +
т(2)
12
12
+ Я(т - r01) J JT (0 + Я(г02)Я(1г021 - т) / F(0 А
т(3)
12
12
+ Я(-г(г))Я(-г02)Я(1 - t<r)) Я(т - 1г 1)Я(г - т) / F(f) dt +
т(,)
- 12
+ Н(У ~ Г01> / Fs(r) dt + Я(|Г02' - Х)Н% - 1) Х
J2)
х Я(, - т , + г2(1,)) / f/О
Л
,">
12
(5.49)
Пространственно-временные области на плоскости гг, соответствующие
различным пределам интегрирования для интеграла /?,
показаны на рис. 5.2a (vQ < 1) и 5.26 (vQ > 1).
б. В центральной точке г = 0 области контакта Q носители
подынтегральных функций для интегралов могут быть найдены
из (5.46) при Tj = г2 = а2 и rQ1 = rQ2 = aQ. С учетом формул (5.44)
интегралы 1Л и /,2 можно представить так:
V0' г) = [ЗЯ3(0; 0, т10) - (2?/2 - 1)Я1(0; 0, г10)]Я(т - fl()),
^2(°. г) = - ^ [ЗЯ3(0; 0, т20) - ,fy(0; 0, т20)]Я(т -
(5.50)
238
H3(n Tv r2) - / h{t) ^ 3 J dt, т - rff I , т20 < T .
t( I'*0
Входящие в (5.50) функции tf(r; г2) определены в (4.170).
Js(r>") = / ^(0 а-"0 s I, б-"0 > 1
а
239
Аналогично из формул (5.44) и (5.49) с учетом разложения дельта-
функции (5.35) вычисляется интеграл
где учтено, что функция /1О(0 имеет нуль xlQ на отрезке [0, rj
только при х > aQ.
Подставляя (5.50) и (5.51) в формулу (5.42), получим следующее
выражение для напряжений в центральной точке:
Отметим, что формула (5.52) несколько проще, чем аналогичное
выражение (4.38) для плоской задачи, в силу структур подынтегральных
функций, входящих в соответствующие интегралы.
Для ударника без среза (aQ = 0) формула (5.52) для напряжений
принимает следующий вид:
В (5.53) интегралы #3(0; r^, rJ()) не имеют особенностей, так как <20 >
°-
§ 5.4. Равномерно расширяющаяся круговая область контакта
Частным случаем рассмотренной в предыдущем параграфе задачи является
расширение круга ?2 с постоянной скоростью
что соответствует изменению радиуса а2(г) по закону (4.41). Этот
240
(5.51)
стззо(°> т> ~ -кпт + -4- о?2 - 2>2 +
п 2^\<У
+ 6Я3(0; 0, т10) - 2(2п2 - !)Я,(0; 0, т10) Я(т - aj ~
~ \ [ЗЯ3(0; 0,
- I?2#^0; 0"т^- г\аХ (5.52)
11 L
п
о,
330
вариант соответствует также контактной задаче о вертикальном внедрении в
полупространство с постоянной скоростью Vq конуса
вращения со срезом и углом полу раствора а (см. (4.44)).
Напряжения *) в том случае также определяются
формулами (5.42), (5.46), (5.49)-(5.51). Функции г .(г), нх нули
т0{ и пределы интегрирования могут быть найдены по формулам,
аналогичным (4.43):
г-М = ч-+ V' Г01 = ао + Л г02 = ао ~ г' г/тоР = 0'
(5.54)
г = Td) = т(3) _ iWo, (2>в1
T0i v' ki Tki 1 -в " * ki 1
Vo i
Vo
Vo
0
Для интегралов и / при г > 0, как следует из (5.46) и
(5.49), имеем следующие выражения (см. также (4.42)):
Irk(r, т) * Я(г2(т"
т(2)
12
(*)
*2
г1"
U
+ Я(-г3(т))Я(1 - ~ 1?41г021) J ^10 А,
