Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
(5.55)
I
о
тО)
'2
Я(т - 1г 1)Я(г ~ г) / fs(0 Л +
f (г. г) - Я(г (т))
к* -и ¦"-
t. о
12 12 4 Я(т -г01) / ^(ПЛ + Я(-г01)Я(1г021 -т) / Fs(0 ^
+ Н(~Г2(Т))Н(1 - Vq)
г(1)
12
г(,)
12
Я(г - !г 1)Я(г0] - г) / F(f) Л +
*12
+ Я(т - г ) / /-.(О dt
Л2')
Нахождение в явном виде этих интегралов н соответственно напряжений
а330(г, *) при г > 0 затруднено сложностью функций
Frk и Ff (см. (5.43)).
В то же время для центральной точки г = 0 эти интегралы цмеют
достаточно простой вид (см. (5.50)). Учитывая, что Л(г) = VQ й а2(т) = aQ
+ t/Qr, найдем интегралы ЯДО,; 0, г) н
Я2(0; 0, г):
In-
e2(0
Я3(0; 0, 0 = /
'г Vr-0
(5.56)
0 ("0"V) Уа200 V0a0a2^
dt =
a2(T)(ao + a2(0)
2aQa2(t)
- 2
+ 4^(0; 0, <)•
Подставляя выражения (5.56) в формулу (5.52), с учетом
(5.54) найдем напряжения в центральной точке:
Я(г) - (?2 2)2. Я(г-а^-
v (i + "о>
2_ 3 4.. 2
х In
J/ v{ а2(т)
о -
4-
( ) f \
3 ±-1 + --- 2rj2 + 1
fo J
г /
2 3 T 2 3 X
v\ 2 ~2 vo % v
A / \ u
3 2
-5-9 \vo
In
"*00
а0(1 +
H(r - ija^)
(5.57)
Отметим, что при данных законах изменения глубины погружения А и
радиуса а2 в случае aQ = 0 напряжения в
центральной точке равны бесконечности. Этот факт согласуется с
аналогичным результатом (4.63) для плоской задачи.
Напряжения <?330(Л г) при г > 0 могут быть найдены в явном
виде в случае неподвижной круговой области контакта (в2 = в0,
t/Q = 0). Формулы (5.54) при этом преобразуются так:
ri = rQC Tltl) = T + № T2) = T-V0f (5'58)
242
Интегралы Ifk 'И / в (5.55) с учетом (5.58) приобретают следующий
вид:
fdr'т) = я<т " ^|г02') / ^(0 du о
(5.59)
02
/Гг, г) = Я(т - 1г021)Я(гш - г) / Fs(t) dt +
т-1
г
02
01
Подставляя в (5.59) функции Ffk и .F из (5.41) и (5.42), выполняя
замену переменной интегрирования ty = г - t и учитывая неравенства (5.47)
н (5.48), сумму этих интегралов представим так:
*=1 лг! *=1
т-пк\г,2\)
- н(г - W1 [WT) + + V)] +
+ Н(т - Vkr01)Urkl(VkrQl) + WVoi) + 7"(Vbi> +
, (5.60)
где
+ WT) + WT)>
+ (2^2 - 1)/<(r))(г)
/?>(т) - (1т,2 - 1)/<°>(т) ,
ОГ 02
3 +4-+ 2
j (Т\ _ 23-Г01
WT)
01 02
3 +4-+2
(5.61)
г02 [ I'oi'ez. 4, <^г
•'§"+4°)М •
22'
243
• *
/g(r)= J lkF(<pk, m) dt, jg(r)= / ikE(;pk,ni)dt,
n I r i 'A 02
17 Ir I '* 02
. 2 * 02 " t
sin jf>. ~ 2 ' к ~ m ''
k rnf. к vk
/sl(T) = Vi" ^ll(T) + ('2 ~ 2)2[^(Т) + rir2^3(T)1'
0Г 02
"и"-"* /
я Ir I
'* 02
ад _ /
"•"* - "V - 4) '
ад - /
dt
W1)- r K(m)
01 L ot 02
WT)"r ^m)
02
3 22^
+ -v- +
Vr0lr02 r0l r02J
Mn(x)~ (Ir,1- \)M,
1
WT) *
Ут)вГад
01
i_ Г02
пгм^) + -ф-м2г(х)
MH)(T) = / dt> MaW = J
71 Г
*k 01
nr
fk i)i
:-?4
L) *
(5.62)
oW *
J
(5.63)
Наиболее просто вычисляются интегралы / ,, и 1,^.
Гг3 _ г3 2 ,|т Г01 , 2
