Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
|2)
х Г(х - |j, у - ?2, т - <)й>3(?,"12' 0
=
¦
= J J ---- [ (г cos v - а2 cos <р)а2 cos <р +
о о
+ (г sin # - а2 sin <р)а2 sin f\ х
х ra(V (г cos # - a2cos <р)2 + (г sin d - а2 sin <р)2, г - tj
dtda =
т
= / w3la2(t), t]0[r, a2(t), x - t] dt.
(5.24) 0
228
Подставляя (5.21) и (5.24) в формулу (5.13), получим окончательное
выражение для контактных напряжений в осесимметричной задаче:
а330(г,т) = -гу3(г, т)Н(т)Н[а2(т) - г] -
т дги, т
- f dt J - в(г,р, х - t) dp + / w3la2(t), t]dlr,a2(t), x ~ t)
dt.
0 0 P 0
(5.25)
Наиболее простой вид формула (5.25) принимает в том случае, коща
скорость w3 на границе полупространства не зависит от
радиуса г, что соответствует контактной задаче о вертикальном проникании
в упругое полупространство абсолютно жесткого осесимметричного тела. При
этом, как следует из (3.9), (3.136) и (3.163):
дщ
й>3(г, т) = h(т), з 0. (5.26)
Toifta интегральное представление контактных напряжений имеет следующий
вид:
Т
азт(г, т) = -А(т)Я(т)Я[а2(т) - г] + / К(Щг, a2(t), г - t] dt.
О
(5.27)
Найдем явный вид ядра в(г,р,х) интегральных представлений (5.25) и
(5.27), используя последнюю формулу в (5.21). Выполняя замену переменной
интегрирования z - cos а, представим функцию в(г, р, г) так:
Р^) = \) rjR^z), х) dz,
Т -1 Vl -z2
(5.28)
R2 = ? + p2 - 2rpz.
При p - 0 или r = 0 с учетом формулы (2.97) получим в(г, 0,т) = О,
При трФ 0 интеграл (5.28) преобразуем следующим образом: 2
в(г,р,т) = 2 *),
А=0
в1(г,Лт) = -^4/ >7=^: Щ -1V1 -
г2
Зт2 2?? - 1
*?(z) *3(z)
(5.30) Я[т - Л,(г)] dz,
02(r,p,r) = ^J-~^ Щ -
1V 1 -z2
О 2 2
Зт ??
*?(*) Rfe)
Н[т - rjR^z)] dz.
Последние два интеграла запишем в виде щ\(г,Р,т) = - ^Я(1 - 2и)|я(-1 -
*и)[|^5(-1) -
- (V - 1)/3<-1)] + Я(1 + "п)[^ rs(zu) - (Ъ,2 - lKsC*,,)]
*v\ir,p, т) = ^_Я(1 - 221)|я(-1 - ",,)[§? V-1)
'<(*) - /
Z -р/г
(Z - z)//2Vl - z2
(/=3,5),
(5.31)
r2 + o2 ,
1'я - ^1'
zfcl
г2 + /Э2 - т2
2 2/р
хк = х^к = 2)-Интеграл /^z) представим так:
г2-
_________Л ____________?_
2/р 22 2гр'
dz
V(Z2-Z)/(1-Z2)' ;
(5.32) 1
230
Значения функций J?z) при /=1,3,5 в точках z=-1 и z = zkx равны [73,
145]:
/,(2А1) = уГЫ F(dk, m), /j(-l) = VbH K(m),
тзп тъп
7з(2а) = ~^4i Е(дк'т)' 7з(_ l) = ^TV2 Е(т)'
т5П
Js(Zki) = 6^ [2(1 + /"l)?(^' " т^' т)] +
т112 л/
nkin~k ЬтхУр1 " (1 - nkmf '
",5/2 т
J (-1) = - - [2(1 + т.)Е(т) - т К(т)], (5.33)
bmyJl
m =
2 4г/э , (г - р)
= --гг =------------ ~ , тх = 1 - т = "
*2 + 1 (^Р)2' 1 (Г^)2'
4н|1. (г2-/?2)2 1+z*l (r + P)2~Tk
т2 ~ 4г2р2 > Пк 2 4гр
Tl'(r~P)2 пк\ ~ 1 пк ~ 2 _ 4/уо
'
1 Пк\ 2 Тк~(Г~Р)2
sin <5, = -J------as (г + р)---------=----.
к l-nkm г, 4грт2
Подставляя (5.33) в (5.32) и далее в (5.31), получим
следующие выражения для функций в?г,р, т) (к = 1, 2):
вк(г> Р* т) = H(nki> [6ki(r'р' Т)Я(_ИР + вкг(г' р' т)н(пк)] '
Ок1(г,р, т) = -Ц [</,K(m) + 6.?(m)[, лг/
в.2(г, р, г) = -Ц [^(<5Л. щ) + Ь,Е(6к, т) + с^,
ЛГ}
di = тур [(1 ~ "lm) Sig" (г~р}~ ^ ~ ] '
231
*-V+w- n1m)Vm7 - [2(1 - n.m)(l + m) -
1 mpp i ¦ i i i
- (2if2 - sign (r - p)}. (5.34)
3
